k^n展开之后0-9的个数恰好是k展开之后0-9的个数的n倍

northwolves · 发表于 2025-11-26 08:43:08

本帖最后由 northwolves 于 2025-12-8 09:32 编辑

假设a(n) 为最小的$n$位数$k$,满足$k^n$展开之后$0-9$的个数恰好是$k$展开之后$0-9$的个数的$n$倍。a(n)前7项：

1, 72576, 87624375, 5702631489, 961527834, 7025869314, 92751390846，847351722906，95479203618

如何高效计算$a(10)-a(16)$?

已知$ a(n)>8.0*10^{11}, n \in [10,16]$

mathe · 发表于 2025-11-26 18:27:38

利用k^n=kn(mod 9)，可以筛掉一些k

mathe · 发表于 2025-11-26 18:32:16

另外我怀疑n充分大后是否有解

northwolves · 发表于 2025-11-26 19:34:01

a[n_]:=Module[{r,x},Do[x=Floor[10^(r-1/2),9];While[x<10^r,If[DigitCount[x^n]==n DigitCount[x],Return[x]];x+=9],{r,10}]];Do[Print[{n, a[n]}], {n, 2, 5}]

复制代码

northwolves · 发表于 2025-11-29 07:06:14

a(9)=95479203618

northwolves · 发表于 2025-12-2 21:30:44

a(8)=962470638315

northwolves · 发表于 2025-12-8 09:28:08

更正： a(8)=847351722906

Yi_Zhi_OIer · 发表于 2025-12-9 20:45:52

请问您如何求出来的

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[讨论] k^n展开之后0-9的个数恰好是k展开之后0-9的个数的n倍

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