PowersRepresentations

northwolves

下面21个数字，哪个可表示为三个不同正整数的五次方之和？

{100347536855722268443968,101960189247984233906376,108662103579823653234375,116203076099426227392000,123734194168358480616000,210298298557955359732344,234282738893245101304875,304835009564744131526144,310761505985914198450872,322117464593486227341312,358331003627858717613192,364029969216280185778176,374082395626587576337344,420767375328886771680768,659756273168473472803392,694070281159443859035456,754434107896215329856000,868808552903654853869568,869296828638589225875000,891031371203065950853632,907777238286825737445888}

lsr314

你确定有解吗？我全部算了一遍，都无解

northwolves

我还在验算中...

lsr314

代码（这个程序应该比直接用PowersRepresentations快很多）：

1. g={100347536855722268443968,101960189247984233906376,108662103579823653234375,116203076099426227392000,123734194168358480616000,210298298557955359732344,234282738893245101304875,304835009564744131526144,310761505985914198450872,322117464593486227341312,358331003627858717613192,364029969216280185778176,374082395626587576337344,420767375328886771680768,659756273168473472803392,694070281159443859035456,754434107896215329856000,868808552903654853869568,869296828638589225875000,891031371203065950853632,907777238286825737445888};
   
2. Do[n=g[[i]];Print[{i,n,Floor[(n/3)^(1/5)],Floor[n^(1/5)]}];Do[m=n-z^5;
   
3. s=Select[Divisors[m],(#<2n^(1/5)&&Solve[x+y==#&&x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4==m/#,{x,y},Integers]!={})&];
   
4. If[s!={},Print[{"It's OK!",n,z,s}]],{z,Floor[(n/3)^(1/5)],Floor[n^(1/5)]+1}],{i,Length[g]}]

复制代码

northwolves

lsr314 发表于 2025-12-8 18:18
代码（这个程序应该比直接用PowersRepresentations快很多）：

g={1267340540893412931638784,1315133696334954540215808,1395393866905985283068424,1429277629387485251077704,1839550509854196738193224,1890577755782168497821504,2066180252695108305334488,2587254750318872123091000,4352659777902369455265016,6305124742512195577536000,7423537589931286979603721,8091067907398492033145856,8563112242039071642462264,12052820087224401568755672,12263046362717053379112000,15196592955151127530902528,15847035796688157617564736,16140408404872754884518000,16826845711026291544900296,16890397861753740017296512,18823431000968427932175168,19700716901399773583081472,4986755431948586845451384,20233836183436585993451259,21919957794379743809996376,26403236524304228437261504,26849062722794939641287000,26856197372470591506477096,26977210535210365081913625,28826129988006193208987712,33935986295221467667482909,35118384565672770676776000,37350303308651473849852416,37628717787106131251750184,40381276088761424950468608,40614160015912361381568000,42663831434079028227198144,47502223968138068802097152,50937425485072445109916125,62111414709445657670995608,70047086893316869978869192,70836481632354534528023592,71316624596566948311439125,72551572355352475146460608,72924387655409805696277824,75403188534758375962944000,87308978728054642746453000,98104370901736427032896000} 这48个数有没有解呢？

northwolves

还有这55个：g={101855033938414413125933464,108817990673280179350059000,116457633677705655087934272,116483100785264905000853544,117521814003363975292155432,129553786843622460105486336,130405697923996705612264128,133195821486731021670619968,139010478528708802511496000,146058552426288797321081328,161366571961673573870915904,178489037228229864029824875,186407836696482553061000000,189115492654485785173810752,202387795251369253628193000,203911176692838359622490704,216480570093753558190520832,249972857520343426855386091,266689233099527645154384000,308171746749127503635757000,354607002586471282356572864,386411181806088990225777375,413645021789131008371943000,420348182132480771280384000,420865581771893544936741000,422777978442947305921283352,426317003748191979056245248,430804966712424408954297000,440595302554207896868936000,440647082744043392418167064,446133552075028160819784000,470976786597560124417937128,476295054790987966790804184,281944655380298800113831936,562420062049682171798281728,585835729712678482048150776,591316269483957734344990824,625030538871684966069224448,659361506437138666824000000,677094170593034781634191417,698382700740561569221125000,724924693515463370314749000,747218701971234394390793304,754216667507568998841721704,809496453559886879612245056,834678823126909447668362472,839825163846888275624687847,890888251464800182091526336,911756592362125441397375000,922936304429998288137981000,932124683581236976323257856,948017649032048798409927168,975781058762173876875726336,977257003507729811301786624,997875633442547546080875000}

northwolves

还有62个28位数：g={1027505330338550486961486312,1060312282875908189179533117,1070389030254883955307783000,1151031096182513182710850875,1195706164754113602624125000,1380292986969202578680003904,1390650622921146233822620536,1440651290254885560412399104,1461059441033521683000419136,1477282114747774157325467328,1477941091449501089166336000,1537468286274169023492021304,1548707242977026145401758272,1602138717476287337169381888,1815993233112254146659584064,1817995104469441536702178752,1494111965774677263765253000,1850031578664591938187264000,1980111868632818039486213847,2035886090438476150999488000,2131816095757188114490944000,2133513864796221161235072000,2328813146925315126087875136,2484658138906054412779278528,2498125212085887577557000000,2681184327565836306771648000,2750085916337189154400203528,3010753785394836469344958875,3040094103093543406379931000,3110648664735737371904498568,3113970067189803030725390336,3228290304002354691749376000,3566272930917041741373045432,3695584797062572602211680384,3930895622048627609985456576,3937533110053862953089456000,4078081670013182469069432000,4112838341764101132725715264,4425659306922227572009247625,4485840158745833243109579000,4837103468066542923069700608,5188955466175320454285571901,5428347689907616752447750000,5502688356642239776719069000,5573014000664790277885883904,5852476049056143253889053184,6137677352440032878140998336,6184406152976056438918192344,6226444077409337733141345792,6445570071020237542232064000,6860377938133730552520383496,7228191510531186107350347000,7472990766981577931315992000,7763237179097417247415721536,7826536799987109074711096256,8017870423134834061857792000,8208867666426649898477865336,8376289414496046369108783000,8443286375502795222022344000,8716142883806822797841088000,9364423752887182352293041693,9832979796646594439687012352}

northwolves

比如：$1027505330338550486961486312=763820772^3+834852954^3=711107964^3+874125882^3=615528186^3+926106636^3=547878149^3+952090867^3=34771464^3+1009071882^3$

mathe

判断一个超大整数是否是3个整数5次方和，想不出什么特别好的办法，可以尝试的方法是，
先建立一个比特表格BT[..]，保存所有\(a^5+b^5 \pmod {60551711}\)的可能取值。
然后对于待查整数T

1. 
   
2. for(u=1;u<=(T/3)^(1/5);u++){
   
3.      S=T-u^5;
   
4.      if(BT[S%60551711]==0)continue;
   
5.      for(v=1;v<=(S/2)^(1/5);v++){
   
6.           R=s-v^5;
   
7.           if(R is w^5, output(u,v,w))
   
8.      }
   
9. }

复制代码

lsr314

令$a=(x(x^3+2y^3))/(x^3-y^3),
b=-(y(2x^3+y^3))/(x^3-y^3),$
那么$a^3+b^3=x^3+y^3.$

由此可知，令$x=-2,y=15$,则

$(-33)^3+34^3=(-9)^3+16^3=(-2)^3+15^3=(13484/3383)^3+(50385/3383)^3=(-1)^5+3^5+5^5=3367$
所有等式同时乘以$3383^15$,就得到原问题的一个整数解，并且可以持续迭代下去。