求 r1 和 r2

iseemu2009

求 r1 和 r2

wayne

感觉如果不限定 内圈 和外圈 圆的起始位置,答案是不确定的

Gongwen0519

6个内切圆组的半径方程：
$$
12\,a^4r^6-16\,a^3\left( 6\,a^2-11\,b^2 \right) r^5+4\,a^2\left( 54\,a^4+7\,a^2b^2-50\,b^4 \right) r^4-24\,a\left( 4\,a^6+11\,a^4b^2-a^2b^4-2\,b^6 \right) r^3+\left( 12\,a^8+92\,a^6b^2+100\,a^4b^4-4\,a^2b^6-4\,b^8 \right) r^2-8\,a^3b^2\left( a^2+2\,b^2 \right) \left( a^2+b^2 \right) r+\left( a^2+b^2 \right) ^2a^2b^4=0
$$
将a=4、b=3代入得到：
$$
256\,r^6+256\,r^5+57504\,r^4-311792\,r^3+514885\,r^2-326400\,r+67500=0
$$
解之得：
$$
r=1.17149769630016955295984296125760680363803729966241632862259163419462094349008735742349615886433064002...
$$

iseemu2009

你这个方程是怎么得到的呢

Jack315

【与椭圆相切圆的圆心坐标】

椭圆方程：\(x=a\cos{t}, y=b\sin{t}\)，其中：\(0\le t\le 2\pi\)
椭圆上切线的斜率：\(dx=-a\sin{t}\cdot dt, dy=b\cos{t}\cdot dt, k=dy/dx=-(b\cos{t})/(a\sin{t})\)

设与椭圆相切于 \(P(a\cos{\theta}, b\sin{\theta})\) 点的圆的方程为 \((x-m)^2+(y-n)^2=r^2 \)。
则有 \((n-b\sin{\theta})/(m-a\cos{\theta})=-(1/k)=(a\sin{\theta})/(b\cos{\theta})\)
和 \((m-a\cos{\theta})^2+(n-b\sin{\theta})^2=r^2 \) 。
求解此方程组得：
\(m=(a\pm b\cdot r/\sqrt{b^2\cos^2{\theta}+a^2\sin^2{\theta}})\cdot\cos{\theta}\)
\(n=(b\pm a\cdot r/\sqrt{b^2\cos^2{\theta}+a^2\sin^2{\theta}})\cdot\sin{\theta}\)

外切圆的圆心坐标方程：
\(x=(a+b\cdot r/\sqrt{b^2\cos^2{\theta}+a^2\sin^2{\theta}})\cdot\cos{\theta}\)
\(y=(b+a\cdot r/\sqrt{b^2\cos^2{\theta}+a^2\sin^2{\theta}})\cdot\sin{\theta}\)

内切圆的圆心坐标方程：
\(x=(a-b\cdot r/\sqrt{b^2\cos^2{\theta}+a^2\sin^2{\theta}})\cdot\cos{\theta}\)
\(y=(b-a\cdot r/\sqrt{b^2\cos^2{\theta}+a^2\sin^2{\theta}})\cdot\sin{\theta}\)

求解外切圆的圆心坐标代码：

1. outerXY[\[Theta]_, r_, a_, b_] := Module[
   
2.   {st, ct, den},
   
3.   (*求三角函数值*)
   
4.   st = Sin[\[Theta]]; ct = Cos[\[Theta]];
   
5.   (*分母表达式*)
   
6.   den = Sqrt[Total[{b ct, a st}^2]];
   
7.   (*输出圆心坐标*)
   
8.   {(a + (b r)/den) ct, (b + (a r)/den) st}
   
9.   ]

复制代码

求解内切圆的圆心坐标代码：

1. innerXY[\[Theta]_, r_, a_, b_] := Module[
   
2.   {st, ct, den},
   
3.   (*求三角函数值*)
   
4.   st = Sin[\[Theta]]; ct = Cos[\[Theta]];
   
5.   (*分母表达式*)
   
6.   den = Sqrt[Total[{b ct, a st}^2]];
   
7.   (*输出圆心坐标*)
   
8.   {(a - (b r)/den) ct, (b - (a r)/den) st}
   
9.   ]

复制代码

Jack315

【外切圆半径】

给定七个外切圆对应的角度 \(\theta_i\)，根据5#的公式计算圆心坐标，则对应的圆与椭圆相切。
调整各角度值 \(\theta_i\) 和外切圆半径 \(r\)，使得相邻圆心间的距离为 \(2r\)，从而求得外切圆半径 \(r\)。

定义相邻圆心间距误差函数：

1. errOuter[r_, t0_] := Module[
   
2.   {a = 4, b = 3, t = Join[{0}, t0], len, xy, dist, disterr},
   
3.   (*角度列表长度*)
   
4.   len = Length[t];
   
5.   (*求解圆心坐标*)
   
6.   xy = Table[outerXY[t[[i]], r, a, b], {i, len}];
   
7.   (*求解相邻圆心间距离*)
   
8.   dist = Table[Norm[xy[[i]] - xy[[i - 1]]], {i, 2, len}];
   
9.   dist = Join[dist, {Norm[First[xy] - Last[xy]]}];
   
10.   
    
11.   (*输出相邻圆心间距离误差*)
    
12.   disterr = Total[Abs[dist - 2 r]]
    
13.   ](*end Module*)

复制代码

求解外切圆半径：

1. NMinimize[{errInner[r, {t1, t2, t3, t4, t5, t6}],
   
2.   0 < t1 < t2 < t3 < t4 < t5 < t6 < 2 \[Pi], 2 < r < 3},
   
3.   {r, t1, t2, t3, t4, t5, t6}, WorkingPrecision -> 100]

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外切圆半径：\(2.690745715096107906897237734799938638856541687475692757508008120178003182642456435024743945723547883\)
相邻圆心间距误差：\(2.447323155204535027853157533463575822494287610518209952923657885205091369802798782454068218988312497*10^{-48}\)

Jack315

【内切圆半径】

给定六个内切圆对应的角度 \(\theta_i\)，根据5#的公式计算圆心坐标，则对应的圆与椭圆相切。
调整各角度值 \(\theta_i\) 和内切圆半径 \(r\)，使得相邻圆心间的距离为 \(2r\)，从而求得内切圆半径 \(r\)。

定义相邻圆心间距误差函数：

1. errInner[r_, t0_] := Module[
   
2.   {a = 4, b = 3, t = Join[{0}, t0], len, xy, dist, disterr},
   
3.   (*角度列表长度*)
   
4.   len = Length[t];
   
5.   (*求解圆心坐标*)
   
6.   xy = Table[innerXY[t[[i]], r, a, b], {i, len}];
   
7.   (*求解相邻圆心间距离*)
   
8.   dist = Table[Norm[xy[[i]] - xy[[i - 1]]], {i, 2, len}];
   
9.   dist = Join[dist, {Norm[First[xy] - Last[xy]]}];
   
10.   
    
11.   (*输出相邻圆心间距离误差*)
    
12.   disterr = Total[Abs[dist - 2 r]]
    
13.   ](*end Module*)

复制代码

求解内切圆半径（第四个圆对应的角度 \(t_3\) 固定为 \(\pi\)）：

1. NMinimize[{errInner[r, {t1, t2, \[Pi], t4, t5}],
   
2.   0 < t1 < t2 < \[Pi] < t4 < t5 < 2 \[Pi], 1 < r < 25/16},
   
3.   {r, t1, t2, t4, t5}, WorkingPrecision -> 100]

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内切圆半径：\(1.171497696300169552959842961257606803638037299662412476106787579338005651515803470051435925247817221\)
相邻圆心间距误差：\(3.046446031068511474288894869031897499773940840581073639410288025490566578374432660799928849705080002*10^{-49}\)

内切圆半径可以通过解方程得出：
第一个圆的圆心为 \((r-a, 0)\) ；第二个圆的圆心坐标为 \((r, y)\)。
联立两个圆的方程组，结果是一元二次方程（两个圆最多有两个交点），
利用判别式为零，可求得 \(y=\sqrt{4ar-a^2}\) 。
得到第二个圆的圆心坐标的两种表达方法（参考5#），联立方程组即可求出半径 \(r\) 。

外切圆半径用解方程的方法比较困难：
第一个圆的圆心为 \((r+a, 0)\) ；第二个圆的圆心坐标为 \((x, y)\), 有两个变量 \(x, y\) 需要确定。
因而需要求多个圆的圆心坐标才能解出半径 \(r\) 。
在求解后续圆的圆心时，方程解的表达式"爆炸"，难度指数级上升……不知道是否有巧妙的方法来求解。

iseemu2009

Jack315 发表于 2026-4-26 22:01
【内切圆半径】

给定六个内切圆对应的角度 \(\theta_i\)，根据5#的公式计算圆心坐标，则对应的圆与椭圆相 ...

讨论一下：外层的7个圆可以沿椭圆表面光滑的转动吗？若能转动，半径会不会发生变化？若不能转动，说明为什么？

Gongwen0519

iseemu2009 发表于 2026-4-27 12:03
讨论一下：外层的7个圆可以沿椭圆表面光滑的转动吗？若能转动，半径会不会发生变化？若不能转动，说明为 ...

不能滚动，因为7个等径环切圆的圆心至少有两个（本题有四个）不在与已知椭圆同心且相似的椭圆上。（五点即可确定一条二次函数的图像）

不管奇数还是偶数个圆，一般情况下都不能满足滚动条件：

Jack315

iseemu2009 发表于 2026-4-27 12:03
讨论一下：外层的7个圆可以沿椭圆表面光滑的转动吗？若能转动，半径会不会发生变化？若不能转动，说明为 ...

【参数说明】
角度：指圆与椭圆的切点坐标所对应的椭圆参变量角度 \(\theta\)（参考5#）。

【圆半径变化】
当第一个外切圆位于横坐标上时，求得的各圆的角度依次为：
\(0\degree, 50.80\degree, 103.06\degree, 154.98\degree, 205.02\degree, 256.94\degree, 309.20\degree\) 。

第一个圆与相邻两个圆之角的角度相度差 \(50.80\degree\)，
因此第一个圆转过 \(50.80\degree\) ，对应圆半径变化一个周期。

当第三个圆逆时针转到  \(180\degree\)、或第四个圆顺时针转到  \(180\degree\) 时，
与第一个圆角度为  \(0\degree\) 时的状态成镜像。
对应转过的角度为 \(180\degree-154.98\degree=25.02\degree\) 。
上述两个旋转角度应该成倍数关系。数据的误差或为计算精度不足所致。


外切圆半径变化范围大约为 \(1.04*10^{-8}\)，图中曲线拟合正弦函数时的拟合优度为 99.95%。