单位圆内任取三个点的构成的三角形的面积是多少

wayne

如题, 单位圆内任取三个点的构成的三角形的面积是多少

mathe

可以先求固定一个点在(1,0)的情况看看，这是一个四重积分

wayne

1. Block[{t3 = 0}, 1/(8 Pi^2) NIntegrate[ Abs[r1 r2 Sin[t1 - t2] + r2 r3 Sin[t2 - t3]+ r1 r3 Sin[t3 - t1]] , {r1, 0, 1}, {r2, 0, 1}, {r3, 0, 1}, {t1, 0,  2 Pi}, {t2, 0, 2 Pi}]]

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mathe

三个随机点，必然有一个点离圆心最远，至于哪个点离圆心最远的概率是相同的，所以我们可以根据哪个点最远，分三种情况，而这三种情况显然面积平均值是相同的。我们先看这个最远点离圆心距离的分布是如何。由于一个点离圆心的距离密度分布同这个距离成正比，也就是对应f(r)=2r, 0<r<1, 或者说概率分布函数为\(P(x<r)=r^2\), 由此我们得到三个独立点到圆心距离都不小于r的概率为\((1-r^2)^3\), 由此得到最远点到圆心距离不超过r的概率为\(1-(1-r^2)^3=r^6-3r^4+3r^2\), 对应密度分布函数为\(6r^5-12r^3+6r\).
而如果我们能够计算得到一个点固定在(1,0), 另外两个点在单位圆内部均匀分布构成的三角形面积期望值为S, 那么三个点，离圆心最远点距离为r, 构成三角形面积期望自然为Sr^2, 于是我们在根据r的密度分布做积分可以得到最终期望为\(S\int_{r=0}^1 r^2(6r^5-12r^3+6r)dr=\frac{7S}{10}\)

Jack315

给定三角形三个顶点坐标 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\) 和 \(C(x_3,y_3)\) 。
求向量 \(V_1(x_2-x_1,y_2-y_1)\) 和 \(V_2(x_3-x_1,y_3-y_1)\) 。
三角形面积为两向量构成的矩阵行列式的一半，行列式的符号代表的是方向。
当 \(A,B,C\) 逆时针排列时，取正号，否则取负号，所以面积再取绝对值：
\(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\abs{Det\bigg(\begin{bmatrix}x_2-x_1&x_3-x_1\\y_2-y_1&y_3-y_1\end{bmatrix}\bigg)}\)

1. 三角形面积[{{x1_, y1_}, {x2_, y2_}, {x3_, y3_}}] := 1/2 Abs[Det[{{x2 - x1, y2 - y1}, {x3 - x1, y3 - y1}}]]

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计算单位圆内任意三点构成的三角形面积：

1. 单位圆内均匀分布点的面积[n_] := Module[
   
2.   {i, j, pt, pts, areas},
   
3.   
   
4.   pts = Table[0, 3];
   
5.   areas = Table[0, n];
   
6.   
   
7.   For[i = 1, i <= n, i++,
   
8.    j = 1;
   
9.    While[j <= 3,
   
10.     pt = {RandomReal[{-1, 1}], RandomReal[{-1, 1}]};
    
11.     If[Norm[pt] <= 1, pts[[j]] = pt; j++]
    
12.     ];
    
13.    
    
14.    areas[[i]] = {pts, 三角形面积[pts]}
    
15.    ];
    
16.   
    
17.   areas
    
18.   ]

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1. 向径和角度均匀分布点的面积[n_] := Module[
   
2.   {i, j, r, \[Theta], pts, areas},
   
3.   
   
4.   pts = Table[0, 3];
   
5.   areas = Table[0, n];
   
6.   
   
7.   For[i = 1, i <= n, i++,
   
8.    For[j = 1, j <= 3, j++,
   
9.     {r, \[Theta]} = {RandomReal[], 2 \[Pi] RandomReal[]};
   
10.     pts[[j]] = r {Cos[\[Theta]], Sin[\[Theta]]};
    
11.     ];
    
12.    areas[[i]] = {pts, 三角形面积[pts]}
    
13.    ];
    
14.   
    
15.   areas
    
16.   ]

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取 10000 个三角形计算面积：

1. s = 单位圆内均匀分布点的面积[10000];

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或者：

1. s = 向径和角度均匀分布点的面积[10000];

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作单位圆内点的散点图

1. points = Table[s[[i, 1, 1]], {i, Length[s]}];
   
2. points = Join[points, Table[s[[i, 1, 2]], {i, Length[s]}]];
   
3. points = Join[points, Table[s[[i, 1, 3]], {i, Length[s]}]];
   
4. ListPlot[points, AspectRatio -> 1]

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单位圆内三角形面积统计数据和直方图：

1. y = Table[s[[i, 2]], {i, Length[s]}];
   
2. {Min[y], Max[y], Mean[y], Median[y]}
   
3. Histogram[y, 50]

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Jack315

不知道是不是 LZ 要的答案……这是代码运行的结果。

三角形面积统计数据，样本数 1 万：
\(\begin{array}{|l|l|l|}
\hline \text{}&\text{最小值}&\text{最大值}&\text{平均值}&\text{中位数}\\
\hline \text{单位圆内均匀分布的点}&0.0000611338&1.21006&0.231536&0.177752\\
\hline \text{向径和角度均匀分布的点}&9.11999*10^{-6}&1.06675&0.145321&0.100546\\
\hline \end{array} \)

三角形面积统计数据，样本数 10 万：
\(\begin{array}{|l|l|l|}
\hline \text{}&\text{最小值}&\text{最大值}&\text{平均值}&\text{中位数}\\
\hline \text{单位圆内均匀分布的点}&4.18359*10^{-6}&1.22885&0.230448&0.175634\\
\hline \text{向径和角度均匀分布的点}&2.90381*10^{-6}&1.27815&0.143482&0.0983147\\
\hline \end{array} \)

点分布图和三角形面积直方图：

【单位圆内均匀分布的点】


【向径和角度均匀分布的点】

wayne

我的两种代码，数值解都是0.14444

1. Block[{t3 = 0},  NExpectation[1/2 Abs[r1 r2 Sin[t1 - t2] + r1 r3 Sin[t3 - t1] +  r2 r3 Sin[t2 - t3]], {r1 \[Distributed] UniformDistribution[],
   
2.    r2 \[Distributed] UniformDistribution[],
   
3.    r3 \[Distributed] UniformDistribution[],
   
4.    t1 \[Distributed] UniformDistribution[{0, 2 Pi}],
   
5.    t2 \[Distributed] UniformDistribution[{0, 2 Pi}]}]]

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1. Block[{t3 = 0},  1/(4 Pi^2) NIntegrate[ 1/2 Abs[r1 r2 Sin[t1 - t2] + r1 r3 Sin[t3 - t1] +  r2 r3 Sin[t2 - t3]], {r1, 0, 1}, {r2, 0, 1}, {r3, 0, 1}, {t1, 0,2 Pi}, {t2, 0, 2 Pi}]]

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Jack315

【MonteCarlo 仿真】

求三角形面积的仿真函数：

1. sTriangle[{a1_, a2_, a3_}, {r1_, r2_, r3_}] := Module[
   
2.   {x1, y1, x2, y2, x3, y3},
   
3.   
   
4.   {x1, y1} = r1 {Cos[a1], Sin[a1]};
   
5.   {x2, y2} = r2 {Cos[a2], Sin[a2]};
   
6.   {x3, y3} = r3 {Cos[a3], Sin[a3]};
   
7.   
   
8.   1/2 Abs[Det[{{x2 - x1, y2 - y1}, {x3 - x1, y3 - y1}}]]
   
9.   ]

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获取仿真数据：

1. data = Block[{a1, a2, a3, arng, r1, r2, r3, rrng},
   
2.    arng = {0, 2 \[Pi]}; rrng = {0, 1};
   
3.    Table[
   
4.     NExpectation[
   
5.      sTriangle[{a1, a2, a3}, {r1, r2, r3}],
   
6.       {a1 \[Distributed] UniformDistribution[arng],
   
7.       a2 \[Distributed] UniformDistribution[arng],
   
8.       a3 \[Distributed] UniformDistribution[arng],
   
9.       r1 \[Distributed] UniformDistribution[rrng],
   
10.       r2 \[Distributed] UniformDistribution[rrng],
    
11.       r3 \[Distributed] UniformDistribution[rrng]},
    
12.      Method -> "MonteCarlo"],
    
13.     1000](*运算 1000 次仿真*)
    
14.    ];

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拟合分布：

1. \[ScriptCapitalH] = DistributionFitTest[data, Automatic, "HypothesisTestData"]

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获取正态分布参数：

1. FindDistributionParameters[data, NormalDistribution[\[Mu], \[Sigma]]]

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\(\mu=0.144431\)，\(\sigma=0.000144488\)

画直方图：

1. Show[
   
2. Histogram[data, Automatic, "ProbabilityDensity"],
   
3. Plot[PDF[\[ScriptCapitalH]["FittedDistribution"], x], {x, 0.143, 0.145},
   
4. PlotStyle -> {Red, Thick}]]

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单位圆内任意三角形面积的期望值估计为 0.144431。

mathe

https://mathworld.wolfram.com/DiskTrianglePicking.html
怎么和你们的结果不匹配？

wayne

mathe 发表于 2026-5-4 12:20
https://mathworld.wolfram.com/DiskTrianglePicking.html
怎么和你们的结果不匹配？

是我们对圆内的均匀采点的处理方式错了。https://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html,  单位圆内随机一个点,应该是基于面积的均匀，随机点的坐标是$ (\sqrt{r} cos\theta,\sqrt{r} sin\theta)$, 而不是$(r cos\theta,r sin\theta)$, 其中，$r\in U(0,1),\theta\in U(0,2\pi) $