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[讨论] 关于素数计数公式之我见

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发表于 2013-5-31 12:09:45 | 显示全部楼层 |阅读模式

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1.
目前主要的公式有2个。
  1)是高斯和勒让德提出的素数定理,当x趋近无穷大,pi(x)/ln(x)=1,
  2)是素数定理的一个等价形式,这个公式更精确,它是基于黎曼zeta函数得到的结果。当x趋近无穷大,pi(x)/li(x)=1

这两个公式都是描述素数个数增长趋势的,他们不能精确计算出x以内的素数个数。
精确计算素数个数的解析公式应该没有,我想数学家们都同意这句话。

2. 许多人尝试得到一个更精确的公式,使得在计算给定的x以内的素数个数时,比上面两个公式更准确。他们得到的公式绝大多数是经验公式,无法证明。
  这些公式有一个共同的特点。

    1). 基本上是在公式2的基础上打补丁,并且有一定的适用范围,即当X大于一个常数B时,这个公式的误差的小于一个x的低阶表达式。
       如, Lowell Schoenfeld 给出的结论是  |pi(x)-li(x)| < 1/(8*PI)* x^0.5*log(x) for all x>=2567

    2). 常数B越大,其误差表达式的阶可越小。
  
    3). 误差表达式(余项)可以高阶的表达式,或者低阶表达式。高阶者系数可以做的很小,低阶者则系数要大一些。


注:关于低阶表达式.
   当x很大时,表达式的结果越小,则这个表达式的阶越低,如 x^0.5/log(x^0.5) < x^0.5 < x^0.5 * log(x) < x/log(x) < x < x*log(x) < x^2, 在这个不等式中,越是前面的多项式,其阶越低。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-5-31 16:04:55 | 显示全部楼层
素数个数精确表达式早已建立,但无法用计算机计算超大整数范围的素数,所以才产生了近似算法。
li(x)是目前最精确的计算方法,但其误差还是在N^(1/2)左右徘徊甚至很难达到N^(1/3).
Lowell Schoenfeld 给出的经验公式没有出奇的特点。
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 楼主| 发表于 2013-5-31 16:29:14 | 显示全部楼层
素数个数精确表达式早已建立,但无法用计算机计算超大整数范围的素数,所以才产生了近似算法。

我说的是解析式,而是一个算法。
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发表于 2013-6-1 11:44:16 | 显示全部楼层
谁能超越Li(n)-1/2Li(n^(1/2))最佳的估值?你想超越吗?
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