关于素数计数公式之我见

liangbch

1. 目前主要的公式有2个。 1)是高斯和勒让德提出的素数定理，当x趋近无穷大，pi(x)/ln(x)=1, 2)是素数定理的一个等价形式，这个公式更精确，它是基于黎曼zeta函数得到的结果。当x趋近无穷大，pi(x)/li(x)=1 这两个公式都是描述素数个数增长趋势的，他们不能精确计算出x以内的素数个数。 精确计算素数个数的解析公式应该没有，我想数学家们都同意这句话。 2. 许多人尝试得到一个更精确的公式，使得在计算给定的x以内的素数个数时，比上面两个公式更准确。他们得到的公式绝大多数是经验公式，无法证明。 这些公式有一个共同的特点。 1). 基本上是在公式2的基础上打补丁，并且有一定的适用范围，即当X大于一个常数B时，这个公式的误差的小于一个x的低阶表达式。 如， Lowell Schoenfeld 给出的结论是 |pi(x)-li(x)| < 1/(8*PI)* x^0.5*log(x) for all x>=2567 2). 常数B越大，其误差表达式的阶可越小。 3). 误差表达式(余项）可以高阶的表达式，或者低阶表达式。高阶者系数可以做的很小，低阶者则系数要大一些。 注：关于低阶表达式. 当x很大时，表达式的结果越小，则这个表达式的阶越低，如 x^0.5/log(x^0.5) < x^0.5 < x^0.5 * log(x) < x/log(x) < x < x*log(x) < x^2, 在这个不等式中，越是前面的多项式，其阶越低。

云梦

素数个数精确表达式早已建立，但无法用计算机计算超大整数范围的素数，所以才产生了近似算法。 li(x)是目前最精确的计算方法，但其误差还是在N^(1/2)左右徘徊甚至很难达到N^(1/3). Lowell Schoenfeld 给出的经验公式没有出奇的特点。

liangbch

素数个数精确表达式早已建立，但无法用计算机计算超大整数范围的素数，所以才产生了近似算法。

我说的是解析式，而是一个算法。

云梦

谁能超越Li(n)-1/2Li(n^(1/2))最佳的估值？你想超越吗？