多项双重根号化简

tommywong

（(√a+√b)^(1/n)已有通解，见百度百科或维基百科"双重根号"条目。）

√(x+√a+√b+k√ab)=(1+k√a+k√b)/√(2k)
化简条件为x=(1/k+ka+kb)/2
如√(x+√2+√3+√6)得x=(1+2+3)/2=3时可化简
√(3+√2+√3+√6)=(1+√2+√3)/√2

这种化简形式有没有改善空间？

chyanog

下面截图的式子形式上可能更对称些，
Sqrt[10 + 6 Sqrt[2] + 5 Sqrt[3] + 4 Sqrt[6]] 不满足条件，但也能化简的，
更复杂的如
39 + 12 Sqrt[2] - 8 Sqrt[3] + 4 Sqrt[5] - 12 Sqrt[6] + 6 Sqrt[10] - 4 Sqrt[15]
还没有好的思路

tommywong

感谢2楼的关注，化简方法更改为：
√(x+√a+√b+√c)=[(ab/c)^(1/4)+(ac/b)^(1/4)+(bc/a)^(1/4)]/√2
化简条件为x=[√(ab/c)+√(ac/b)+√(bc/a)]/2

请问√(10+6√2+5√3+4√6)可化简为什么？

tommywong

三项的也可以一起讨论
[x+a^(1/n)+b^(1/n)]^(1/2)=a^(1/2n)+b^(1/2n)
化简条件：x=2(ab)^(1/2n)
[x+a^(1/3)+b^(1/3)]^(1/3)=[(b^2/a)^(1/9)+(a^2/b)^(1/9)]/3^(1/3)
化简条件：x=[(b^2/a)^(1/3)+(a^2/b)^(1/3)]/3

tommywong

为了方便讨论，我在维基百科定义了不同项数和根次数的叫法。
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E9%87%8D%E6%A0%B9%E5%8F%B7
当中的n为任意正整数，如n-2-2式包括了3-2-2式，n-n-n式包括了3-3-3式。

chyanog

3# tommywong

√(10+6√2+5√3+4√6)有一点儿特殊

云梦

√(10+6√2+5√3+4√6)======(16*379*12967)/(3*5*13*66343) ======6.0781160225201089158286214651734……
机器这样回答的，搞不懂。
风花飘飘 发表于 2013-6-16 23:31

(16*379*12967)/(3*5*13*66343) 是否应该是近似值？
=6.078116022520104337326953126660706963074959698567313537996202332...
√(10+6√2+5√3+4√6)
=6.078116022520108915828621465173365180780286807204137802037172870...
6.07811602252010是相同的，后面则不同了。

zeroieme

请教楼主：
√(1+√2)能化简为两项吗？

fungarwai

zeroieme 发表于 2013-7-7 23:50
请教楼主：
√(1+√2)能化简为两项吗？

a-b为平方数是化简条件，a-b=-1不符合条件
这时候套用公式就会出现循环现象。
√(1+√2)=[√(1+i)+√(1-i)]/√2
√(1+i)= [√(1+√2)+√(1-√2)]/√2
√(1-i)= [√(1+√2)-√(1-√2)]/√2
√(1+√2)=[√(1+i)+√(1-i)]/√2=[√(1+√2)+√(1-√2)]/2+[√(1+√2)-√(1-√2)]/2=√(1+√2)

chyanog

用下面这个式子貌似更方便些，√(1+√2)能写成两项的，但还是嵌套的根式，