我也问一个多面体的问题

zeroieme

如果说平面最密圆堆积可以对应相同的6边形无封拼接



那么最密球堆积可以对应怎样的相同多面体无封堆砌？

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一个平面的周角可以均分成多个正三角形的顶角.
对比一下，一个立体的周角可以均分成 多个正四面体的顶角，于是该多面体的每一个面都是正三角形，
所以是 正二十面体

wayne

可以 做一个 正二十面体的骰子玩玩，想起来蛮有意思的。

zeroieme

正二十面体是错误的

以下是某晶体结构的文章

http://courseware.lzu.edu.cn/upload/jghx04/wangzhan/ch8_3.html
…………

　　　　将以上的讨论推广到三维空间，情况又如何呢？我们将会发现，具有五重对称性的正二十面体有12个顶点，需要13个原子堆成（中心必须有一个原子）.
若将正二十面体相邻顶点的距离记作a,顶点到正二十面体体心（即正二十面体外接球的球心）的距离记作R，则由立体几何可知:

　　　　这表明处于正二十面体顶点上相邻原子间距离，要比顶点到正二十面体体心的原子间距离远约5%，这意味着失配.
　　　　此时,你也许会想起:金属单质最密堆积也是12配位,为什么各原子与相邻原子都刚好接触,
而没有发生失配现象呢?我们曾扼要地提到过这一点:金属单质最密堆积时每一个原子周围的12配位原子(连同中心原子共13个原子)并不是形成具有五重对称性的正二十面体!
例如A1最密堆积时,每一个原子周围的12配位原子形成没有五重对称性的截顶正方体.
　　　　然而，13个原子堆成的正二十面体却存在失配现象，即表面上各个顶点处的原子之间有缝隙，且随着原子数目的增加，失配越来越严重（右图,
黄色球代表新增的同种原子）.当然，可以将正二十面体体心换上一个较小的原子,使正二十面体中所有相邻原子重新接触,但这种情况只可能在合金中发生,
而不可能在金属单质中发生.






图8-12
13个等径圆球堆成截顶正方体

图8-13
13个原子堆成正二十面体存在失配现象



　　　　即使在合金中能够出现没有失配的正二十面体,也不可能单纯使用这种正二十面体无缝隙地堆砌成三维固体.

………………


但依然没有说应当是个怎样的多面体

wayne

的确不是。
搜了一下，http://mathworld.wolfram.com/Space-FillingPolyhedron.html
该链接里说：立方体(cube)是唯一的可以填充空间的 正多面体类型。
不过，正四面体(tetrahedra )和正八面体(octahedra)组合起来 也可以填充空间

wayne

而且，能填充空间的，每个边都是正多边形的凸多面体的 只可能是5种类型：

triangular prism, hexagonal prism, cube, truncated octahedron, gyrobifastigium.

zeroieme

我不求正多面体也不求每面正多边形的凸多面体。
想求用一种凸多面体填充空间。

突然想到，中心球与相邻球的共切面延伸会得到个怎样的凸多面体？
用什么工具可以做出呢？

wayne

zeroieme 发表于 2013-7-3 21:03
我不求正多面体也不求每面正多边形的凸多面体。
想求用一种凸多面体填充空间。

在Mathematica里面，有命令可以得到SpaceFilling 的 Polyhedron，有11种，不知道是不是全的。

1. PolyhedronData["SpaceFilling"]

复制代码

{AcuteGoldenRhombohedron,Cube,ElongatedDodecahedron,EschersSolid,Gyrobifastigium,ObtuseGoldenRhombohedron,{Prism,3},{Prism,6},RhombicDodecahedron,SquashedDodecahedron,TruncatedOctahedron}

其中 AcuteGoldenRhombohedron 和ObtuseGoldenRhombohedron 就是 二维Penrose铺砌 到三维空间的类比。

1. GraphicsGrid[Partition[PolyhedronData /@ PolyhedronData["SpaceFilling"], 4, 4, {1, 1}, {}], ImageSize -> Medium]

复制代码

wayne

Penrose指出：准晶体镶嵌模式的一个显著特征是拼合必须是非局部的. 意思是说，晶体在成长过程中可以依靠每次局部地添加一个原子来合理地完成装配，而准晶体在成长过程中却必须不时地“考虑”离装配点相当远处的模式状态，才能够保证装配在整体上不发生严重错误，而不能只“考虑”局部. 这是当前围绕准晶体的结构和成长问题存在着争议的一部分.

自然界存在 准晶体吗

wayne

在中华人民共和国科学技术部发现了一个新闻， 证实自然界中存在 准晶体(还是2009年才发现的)。
http://www.most.gov.cn/gnwkjdt/200907/t20090707_71662.htm

这就有意思了，准晶体的成长是不满足 晶体局限定理（crystallographic restriction theorem） 的。
也就是说，准晶体成长过程中，仅仅受局部的物理原理所左右是办不到的。还需有一个宏观层次的规则 在掌控着，这个有点智能了。