求解圆柱面上的正弦曲线方程

liexi

如图所示假设四边形BCDE是一张白纸，我在上面画了一个正弦曲线，方程是Y=SINX，那么请问
    1：把这张纸卷成一个圆柱形，使边BC重合DE，那么这个圆柱上的正弦曲线的方程是如何的呢？
    2：把这张纸卷成一个圆柱形，使边GH重合DE，那么这个圆柱上的正弦曲线的方程又是如何的呢？这里可以有新的两种假设:
       a、假设BCHG平面是此圆柱面的相切面；
       b、假设线段BC仍然在圆柱上，即相当于第二问的圆柱面是第一问的圆柱面卷的更小了点，使面有重合区域了。
    3、若DBCE是个等腰梯形，且DB小于CE边，边BC和DE为腰线，，梯形关于X轴对称，那么上面的正弦曲线新方程又该如何求得。
求高手帮助我下吧，谢谢了。

liexi

我求得的第一问的答案是：$X= theta/pi$;$Y= 4/pi*sin\theta$;$Z= 4/pi*(1-cos\theta) $; 假设$0<=\theta<=4pi$，答案对吗？
那么老师们，高手们，能帮我解决下第二问和第三问吗？

liexi

抱歉是SINX= θ/$pi$

liexi

卷成圆柱后的曲线就是这样的，大师们帮我分析下思路吧，看如何处理重叠这个环节。

云梦

回答第一问：
1：把这张纸卷成一个圆柱形，使边BC重合DE，那么这个圆柱上的正弦曲线的方程是如何的呢？
当BC重合DE，形成一个圆柱。假设圆柱的半径是R,DE为x方向,DB为y方向。
则：正弦sin(x)在圆柱面上的方程为：
x=0~4Pi
y=Sin(Sin(x/R))
z=Cos(Sin(x/R))

Sin(x)值恰为圆柱截面的弧长。
下图红线表示Sin(x),黑线表示在圆柱面上的X-Y面投影。

云梦

回答第二问：
2：把这张纸卷成一个圆柱形，使边GH重合DE，那么这个圆柱上的正弦曲线的方程又是如何的呢？
b、假设线段BC仍然在圆柱上，即相当于第二问的圆柱面是第一问的圆柱面卷的更小了点，使面有重合区域了。
答案和(1)相同只不过圆柱的半径变小。假设r为该圆柱的半径：r<R
x=0~4Pi
y=Sin(Sin(x/r))
z=Cos(Sin(x/r))

云梦

a、假设BCHG平面是此圆柱面的相切面；
DGHE部分和答案(1)相同,在切面BCGH上,由另一方程表达。设DGHE切面与圆柱的夹角为θ：OG的高度为h:
则:sin(x)>arcsin(h)时：
y=h+(sin(x)-arcsin(h))sinθ
z=ctan(sin(x)/R)h-(sin(x)-arcsin(h))cosθ

云梦

回答第三问：
若DBCE是个等腰梯形，且DB小于CE边，边BC和DE为腰线，，梯形关于X轴对称，那么上面的正弦曲线新方程又该如何求得。
其实和（1）类似，只不过DBCE形成的是圆台。
假设BC长度为L:圆台半径为R,r,R>r:k=R-r
则斜率=k/L
y=Sin(Sin(x/(r+x*K/L))
z=Cos(Sin(x/(r+x*k/L))

云梦

当r=1/5,k=1/10的图形：

云梦

如果圆柱轴线在i二维或三维空间，不难推导。你试试看!!