正方形内找若干点，使每个点到各边距离以及各点之间距离最大

chyanog

在正方形 (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)内找一个点，使这个点到各边距离尽量最大，
显然改点坐标是(1/2,1/2)，
如果要找两个点，使每个点到各边距离以及各点之间距离最大，这两个点的坐标分别是多少？
更多的点呢？

Lwins_G

不加证明地给出一些结论吧（因为证明都不难）：

1.  在点数$n=2$时，最大距离$d_{max} = \dfrac{4 - \sqrt{2}}{7}$。

2.
$$ d_{max} \leq \frac{2}{\sqrt{\pi n} + 1}. $$

3.
$$ d_{max} \asymp \sqrt{\frac{2}{\sqrt{3}}} \frac{1}{\sqrt{n}}. $$
上式的证明需要使用一个非平凡的引理，但这个引理几乎是显然的。

mathe

这个题目比较有意思
n=2时Lwins_G已经给出，就是

n=3时，是不是就应该是

n=4时，应该就是

mathe

这个问题本质上和在单位正方形中放置n个最大等大小的不相交圆问题等价。可以想象在圆点半径为r时，将正方形四个方向都向里裁剪掉r,然后整体大小再放大$\frac1{1-2r}$倍即可。
而单位正方形内部放置n个最大的等圆下面链接已经提供了很好的结果
http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/csq/d1.html