一道几何题，求证共线的。

zhouguang

问一道几何题吧，呵呵？
已知：ABCDEFG这七个点中，BCD、ACE、ABF、ADG、BEG、BEG、CFG、DEF分别共线。
求证：ABCDEFG七点共线。

hujunhua

这是Sylvester问题的一个特例。
维基百科上有所收录。包括英文版和中文版都有。

楼主的问题按Sylvester的描述方式，就是：
平面上不同的7点A、B、C、D、E、F、G中，任意两点的连线都经过7点中的另外一点，求证这7点在一条直线上。
这个问题本质上属于仿射几何，也可以归于射影几何，但不属于欧氏几何。但是简明的证法却出自欧氏几何（要利用距离概念）。

对于7个点的特例，有一个很给力的仿射证明。

用反证法。容易证明，如果这7点中有任意4点共线，则所有7点都共线。所以，假设这7点不共线，则其中任意4点都不共线。
我们知道，这就是一个7点7线的有限射影系统，图形如下：

我们来证明，图中“有限射影直线”DEF不是非有限射影直线。
由塞瓦定理得：(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1
若D, E，F是一条非有限射影直线，则由梅涅劳斯定理又得：(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=-1
两式相矛盾，故假设不成立，。。。。。。。。

zhouguang

To hujunhua:
好呢，学习了，呵呵。
“对于7个点的特例，有一个很给力的仿射证明。”请问这个给力的证明是你原创的么？

hujunhua

不知道哇。没在别处见到过这样的证明，否则我就可以偷个懒，给个链结，不用自己写和画图了。

相对而言，有限射影几何与非有限射影几何的主要区别在于前者删去了迪萨格公理。所以，DEF不可能是非有限射影直线，本质上是由笛萨格公理决定的。但是直接应用笛萨格公理来证明的方法我没有找到。

zhouguang

To hujunha:
呵呵，不错，谢谢hujunha。
原先梅涅劳斯定理都是按照等于1记的，现在发现是-1的威力了。
再次感谢hujunha，呵呵。

zhouguang

hujunha提到的给力证明或许可以这样翻译成大白话，呵呵：
假设七点不共线，那么ABC构成一个三角形。
一条直线交这个三角形的三边于DEF三点，那么，要么这三点都在延长线上，要么一点在延长线上。这句话对应了Menelaus。
另一方面，一点G和这个三角形顶点连线AG、BG、CG，交这个三角形的三边于DEF三点，那么，要么两点在延长线上，要么没有点在延长线上。这句话对应了Ceva。
于是Menelaus和Ceva就矛盾啦，呵呵。

zhouguang

呵呵，不理解4层说的“相对而言，有限射影几何与非有限射影几何的主要区别在于前者删去了迪萨格公理。”中的“迪萨格公理”是什么意思。
是不是说对于“有限射影几何”来说，在2层中的图形是存在的（当然是在“7点相异，且DEF是直线”的情况下了）？

zhouguang

再请教一个问题：
在射影几何中，有一条直线a，上面依次有ABC三点，我们说B点和无穷远点分离了点A和点C。
现在用对偶的方法，有一个点A，通过它逆时针依次有abc三线，然后我们说什么呢？

zhouguang

To hujunhua:
呵呵，谢谢。
To 7层的点评：我有一种感觉，就是“有限射影几何”是一种组合学的概念，而其中“几何”仅仅来自于“两直线间只有一个交点”的理念。而“射影几何”则拥有研究“空间”的性质。而这两者的差异我并不晓得，hujunhua说差别在于“迪萨格公理”，能再说明一下么？呵呵。
To 8层的点评：对的，第一句中的“无穷远点”对应一条过A的直线，这条直线垂直于第一句中的“一条直线a”。第二句话显得“啰嗦”的原因在于第一句话中的“无穷远点”有无穷多个，而没有做出“啰嗦”的限定。不过，我还是觉得两句话中有些对应关系我没有理解到。

zhouguang

好了，既然第一题被“给力的”秒杀了，那么，在来一道吧，呵呵。
已知：ABCDEFGH这八个点中，ABE、ACD、BCF、BDG、CEH、EFG、DFH、AGH分别共线。
求证：ABCDEFGH八点共线。