e的超越性证明

rayfekeeper

实在不好意思，因为电子书是用图片的格式，没多想就截图发上来的，确实是自己的过失。

证明：若不然，则e是代数数，设它的次数为n，多项式

$a_nx^{n}+ \cdots+a_{0}$是它的最小多项式，于是

$a_{n}e^{n}+ \cdots +a_{0}=0$

对于充分大的素数$p$，令

$f(x)=x^(p-1)(x-1)^p\cdots (x-n)^p$

$J=\sum_{i=0}^{n}a_i\int_0^{i}e^{i-x} f(x)dx=\sum_{i=0}^{n}a_{i}I(i),$    (13)

其中I(t)见于引理1.可以推出：

$J=-\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_{i}f^{(j)}(i),m=(n+1)p-1$

当j<p,i>0或j<p-1,i=0时, $f^{(j)}(i)=0$,因此，对于一切$ (j,i)\neq 0$(p-1,0),p!整除$f^{(j)}(i)$,此外，由

$f^{(p-1)}(0)=(p-1)!(-1)^{np}(n!)^{p}$,

可知，若p>n,则(p-1)!整除$f^{(p-1)}(0)$,但p!不具备这一性质，所以，当p充分大时，数J是一个可以(p-1)!整除的非零整数，从而

$|J|>(p-1)!$     (14)

但是有(12)式应有

$|J|<\sum_{i=0}^{n}|a_{i}|\dot ie^{i}f*(i)$

其中c是常数，当p充分大时，上式与（14）矛盾，这证明e不可能是代数数。

引理：设f(x)是实系数多项式，次数为m，记

$I(t)=\int_0^{t}e^{t-u} f(u)du,$

其中t为任意复数，积分路线是0到t的线段，则

$I(t)=e^{t}\sum_{i=0}^{m}f^{(j)}_{0}-e^{t}\sum_{i=0}^{m}f^{(j)}_{t},$    (11)

此外，若f*(x)表示将f(x)的系数易为其绝对值所得到的多项式，则

$|I(t)|<|t|e^{|t|}f*(|t|)$       (12)


这是Hermite 给出的e的超越性的证明，非常短小精悍，随后Lindemann也用这中方法证明了pi的超越性。

发此贴，是想大家能不能借鉴这个过程来证明e+pi的超越性。我想了多年，实在没找到出路。

liangbch

同意版主的点评。
这里普及一下图片格式的一点知识。
一般说来，图片色彩的特点不同，最佳存储格式也不相同，常用的图片格式有GIF，JPG和PNG格式。
GIF是无损压缩格式，但只是适用于颜色较少的图片，它的另一个特点是可以存储动画。
JPG是有损压缩格式，可按照需求使用不同的压缩比。适合于存储照片。在保证图片质量不太差的情况下，有很高的压缩比，当然，JPG图片总会有失真，但人眼不宜觉察。
PNG格式是无损压缩格式，适合于存储屏幕截图等含有大量色块的图片。屏幕截图常常是前景或者文字是纯色的，背景也是纯色的，使用PNG格式不但有比JPG文件更小的文件尺寸，而且没有失真。

mathematica

没必要的,这个只要别人证明过,然后我知道结论就可以了,这个是早就有定论的东西,不折腾

gxqcn

@mathematica
既然你认为这样会让我多花钱，而你却常常上传那些没必要的代码截图，岂不是典型的“损人不利己”？！
怎么说你好呢？人品啊。。。

一直以来我尽量采用“宽容”原则。
在部分支持LaTeX的论坛上，甚至明文禁止上传那些可用LaTeX排版的图片。

楼主这个图片有440.26KB，换一种形式，也许1%不到即可达相同效果，甚至超越当前效果。

mathematica

不折腾!能简单地用图片就不要用论坛上繁琐的latex,论坛对latex支持的并不好,没有mathematica软件好!

BeerRabbit

mathematica 发表于 2013-11-20 21:41
不折腾!能简单地用图片就不要用论坛上繁琐的latex,论坛对latex支持的并不好,没有mathematica软件好!

既然你很熟悉Mathematica这个软件，那你应该知道她可以把数学表达式导出为LaTex表达吧。

葡萄糖

mathematica 发表于 2013-11-20 11:51
没必要的,这个只要别人证明过,然后我知道结论就可以了,这个是早就有定论的东西,不折腾

我不认同你的看法，鄙人认为只知道结论就像猪八戒吃人参果——食而不知其味!
把他人的成就供奉为无上真理，没有格物致知的精神，这样会很难有敢于挑战权威的声音！甚至会错失发现新领域的机会！
我不知楼主的来源，但有以下供分享：
《多项式和无理数》
第十二章  几个著名的数的无理性和超越性  ∥561
12.1  勒让德多项式和它的性质  ∥561
12.2  e的无理性  ∥567
12.3  π的无理性  ∥568
12.4  ln 2的无理性  ∥572
12.5  ζ(2)的无理性  ∥573
12.6  最新的记录：ζ(3)的无理性  ∥581
12.7  e的超越性  ∥586
12.8  π的超越性  ∥589