一类数列通项公式

kastin

$a_{n+1}=a_n^2-d$，$a_1=3$，当d=2时，求通项公式。
先给出答案$a_n=(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^{2^{n-1}}+(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^{2^{n-1}}$
进一步，若d取0~6之间的任意数的时候，求通项公式。

wayne

d=2 很简单.  由于
$(a_{n+1}/{2}) =2(a_n/2)^2 -1$
所以,可以类比成 余弦的倍角公式.

其他的就难办了.
不过,d=0,6可以直接归纳

kastin

wayne 发表于 2013-12-9 22:52
d=2 很简单.  由于

所以,可以类比成 余弦的倍角公式.

利用反三角函数，可得出d=2的另一个形式的通项公式
an=2cos(2^(n-1)*arccos(3/2))

其实想说明的是，数列的通项公式不一定是唯一的，而且也不一定存在封闭的有限项数的解析表达式的通项公式。

推而广之，一般的数列是否存在对应的生成函数（母函数）？如果存在是否唯一？

wayne

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