轨迹问题

kastin

1、有一圆锥曲线上有任一点P，过P作对应最近焦点F的准线的垂线，垂足为Q。A为距离F最近的长轴顶点，直线AP与FQ交于R，问R的轨迹是什么？

2、已知圆锥曲线上有定长为m的弦AB，当该弦在圆锥曲线内部（注意双曲线情形的内部是在两边，不含中心）滑动时，求弦AB的分点P（其中有向线段AP=k*PB，k为常数）的轨迹是什么？

3. 椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1 (a>b>0)$长轴(或短轴)上有点P，过P分别作两条夹角为$\phi$的射线交椭圆于M,N两点，设$vec{PM}+vec{PN}=vec{PR}$，求R的轨迹。

补充内容 (2013-12-12 19:41):
没预览，也不能编辑，真不太人性化。上面有错误还不知道怎么改，试一试
\(AB\hat{\rightharpoonup}\)

hujunhua

第1题的设定“过P作对应最近焦点F…”的描述，对于圆锥曲线非抛物线的情形有问题。
对于椭圆和双曲线的情形，由于有两个焦点，当P点在圆锥曲线上变动时，最近焦点是会变动的，所以指名道姓地说 F 是不恰当的。F并不总是较近的焦点。
如果不指名F，虽消除了错误，但是焦点不唯一，轨迹就不连续，破坏了美感。
所以，如果我是出题人的话，会把“最近”二字删除。

第2题，乍一看以为轨迹会是圆锥曲线，画了一下，结果不是，还挺复杂的，应该是一条8次曲线吧（没作代数计算，估计的）。

kastin

hujunhua 发表于 2013-12-11 15:17
第1题的设定“过P作对应最近焦点F…”的描述，对于圆锥曲线非抛物线的情形有问题。
对于椭圆和双曲线的情 ...

你说的很有道理。第1题应该改成某侧固定的焦点比较好（比如F1），因为对于抛物线，第二个焦点退化在无穷远处。此时应该选用实焦点。

第2题是一个推广，高中的时候做的题目本来是求弦AB的中点的轨迹，这个比较简单，所以我想知道对于任意分点而不是中点的情况会是什么状况。由于对于几何画板不是很熟悉，所以想请各位资深前辈来看看或者画一画这些轨迹。大家各抒己见都行。

wayne

有点懒,不想计算, 用GeoGebra画了一下,第一题轨迹貌似是椭圆

wayne

第二题画出来的有点怪:

wayne

wayne 发表于 2013-12-15 17:46
第二题画出来的有点怪:

那是因为过椭圆上的任意一点可以做两条定长的弦.我前面的图形只做出一条.
现更新如下:

wayne

做了一个动画. 好意外啊

wayne

帖子已经根据你的意思编辑过来了。

wayne

问题三：
夹角 $\phi$ 固定，那么R的轨迹是椭圆。
夹角 $\phi$变化时，轨迹是高次曲线，其动画：

数学星空

对于椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$内弦长L的线段AB，且P点分$AP=m*PB$,则$P(x,y)$满足下列方程：
$(m+1)^4*(a^2*b^2-a^2*y^2-b^2*x^2)^2*(a^8*b^4*m^4-2*a^8*b^2*m^4*y^2+a^8*m^4*y^4-2*a^6*b^6*m^4-2*a^6*b^4*m^4*x^2+4*a^6*b^4*m^4*y^2+2*a^6*b^2*m^4*x^2*y^2-2*a^6*b^2*m^4*y^4+$
$a^4*b^8*m^4+4*a^4*b^6*m^4*x^2-2*a^4*b^6*m^4*y^2+a^4*b^4*m^4*x^4-4*a^4*b^4*m^4*x^2*y^2+a^4*b^4*m^4*y^4-2*a^2*b^8*m^4*x^2-2*a^2*b^6*m^4*x^4+2*a^2*b^6*m^4*x^2*y^2+b^8*m^4*x^4-$
$4*a^8*b^4*m^3+4*a^8*m^3*y^4+8*a^6*b^6*m^3+8*a^6*b^4*m^3*x^2-8*a^6*b^4*m^3*y^2-4*a^4*b^8*m^3-8*a^4*b^6*m^3*x^2+8*a^4*b^6*m^3*y^2-4*a^4*b^4*m^3*x^4-$
$4*a^4*b^4*m^3*y^4+4*b^8*m^3*x^4+6*a^8*b^4*m^2+4*a^8*b^2*m^2*y^2+6*a^8*m^2*y^4-12*a^6*b^6*m^2-12*a^6*b^4*m^2*x^2+8*a^6*b^4*m^2*y^2-4*a^6*b^2*m^2*x^2*y^2+4*a^6*b^2*m^2*y^4+$
$6*a^4*b^8*m^2+8*a^4*b^6*m^2*x^2-12*a^4*b^6*m^2*y^2+6*a^4*b^4*m^2*x^4+40*a^4*b^4*m^2*x^2*y^2+6*a^4*b^4*m^2*y^4+4*a^2*b^8*m^2*x^2+4*a^2*b^6*m^2*x^4-4*a^2*b^6*m^2*x^2*y^2+$
$ 6*b^8*m^2*x^4-4*a^8*b^4*m+4*a^8*m*y^4+8*a^6*b^6*m+8*a^6*b^4*m*x^2-8*a^6*b^4*m*y^2-4*a^4*b^8*m-8*a^4*b^6*m*x^2+8*a^4*b^6*m*y^2-4*a^4*b^4*m*x^4-4*a^4*b^4*m*y^4+4*b^8*m*x^4+$
$a^8*b^4-2*a^8*b^2*y^2+a^8*y^4-2*a^6*b^6-2*a^6*b^4*x^2+4*a^6*b^4*y^2+2*a^6*b^2*x^2*y^2-2*a^6*b^2*y^4+a^4*b^8+4*a^4*b^6*x^2-2*a^4*b^6*y^2+a^4*b^4*x^4-4*a^4*b^4*x^2*y^2+$
$a^4*b^4*y^4-2*a^2*b^8*x^2-2*a^2*b^6*x^4+2*a^2*b^6*x^2*y^2+b^8*x^4)+8*m^2*a^2*b^2*(m+1)^2*(a^2*b^2-a^2*y^2-b^2*x^2)*(a^6*b^2*m^2*y^2-a^6*m^2*y^4-a^4*b^4*m^2*x^2-$
$a^4*b^4*m^2*y^2+a^4*b^2*m^2*y^4+a^2*b^6*m^2*x^2+a^2*b^4*m^2*x^4-b^6*m^2*x^4-2*a^6*b^2*m*y^2-2*a^6*m*y^4+2*a^4*b^4*m*x^2+2*a^4*b^4*m*y^2-4*a^4*b^2*m*x^2*y^2-$
$2*a^4*b^2*m*y^4-2*a^2*b^6*m*x^2-2*a^2*b^4*m*x^4-4*a^2*b^4*m*x^2*y^2-2*b^6*m*x^4+a^6*b^2*y^2-a^6*y^4-a^4*b^4*x^2-a^4*b^4*y^2+a^4*b^2*y^4+a^2*b^6*x^2+a^2*b^4*x^4-$
$ b^6*x^4)*L^2+16*a^4*b^4*m^4*(a^2*y^2+b^2*x^2)^2*L^4=0$

当P点为AB的中点时即$m=1,L=2*l $时
$ 16*(L^2*a^4*b^2*y^2+L^2*a^2*b^4*x^2-4*a^6*b^2*y^2+4*a^6*y^4+4*a^4*b^2*x^2*y^2-4*a^2*b^6*x^2+4*a^2*b^4*x^2*y^2+4*b^6*x^4)^2=0$
即陈都得到的结果：
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=4216&extra=page%3D1&page=6
56# 椭圆定长弦中点轨迹：
$ (1-x^2/a^2-y^2/b^2)*(b^2*x^2/a^2+a^2*y^2/b^2)=(x^2/a^2+y^2/b^2)*l^2$