有道简明的概率式子我看不懂

掬一捧月光2

一圆形跑道上有S,A,B三地点，一车自S处出发，依序经A,B两处环绕跑道，计算圈数的方法为绕满整圈回到S才算一圈，若中途故障，则该圈整不算。已知该车于A,B两处发生事故（停止不动）的概率分别为1/9与1/16，则此台车环绕跑道圈数之期望值为多少？答案是这么做的，设此台车跑完圈数的期望值为X，则X=(1-1/9)(1-1/16)(1+X),可得X=5.我思考了半天也不知道此式子怎么来的，意义是什么，特向各位求助。

wayne

该式子列的很巧妙, 用的是极限的思想.

实际的计算,是一个无穷级数的求和.

跑完n圈,其 概率是 $p_n=( (1-1/9)(1-1/16) )^n-( (1-1/9)(1-1/16) )^{n+1}$.
那么期望值就是  $E = \sum_{n=1}^{+oo}p_n*n $

掬一捧月光2

那个简短的式子什么意思呢？

Lwins_G

就是字面意思。
现在我们试图来计算$X$。
如果车在第一圈就故障，那么跑的圈数是0。
如果车在第一圈不故障，那么扣除掉第一圈，车还能跑的圈数的期望依然是$X$。
故而$X = (1 - (1 - \frac{1}{9})(1 - \frac{1}{16})) \cdot 0 + (1 - \frac{1}{9})(1 - \frac{1}{16}) \cdot (1 + X)$

wayne

说实在的,要我做这题. 我肯定会老老实实的列式子,求极限. 是断然不会列出这么高明的,简洁的式子.