求单位正方形内随机三角形是钝角三角形的概率

Lwins_G

wayne 发表于 2014-1-5 18:29
本质上是一个六重积分, 但计算起来可费劲了,Mathematica罢工了,其实我也很懒,一个六重的积分直接扔给祂了,: ...

如图，简要思想是：
1) 一个角是否为钝角，可以用形成该角的两条有向边的内积（有向边看作向量）的正负来判别。
2) 一个三角形为钝角三角形，当且仅当其恰好有一个钝角。

故而，这归结为计算
$$ 3 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 f((x_2 - x_1)(x_3 - x_1) + (y_2 - y_1)(y_3 - y_1)) dx_1 dy_1 dx_2 dy_2 dx_3 dy_3 . $$
其中$f(x)$当$x < 0$时取$1$，否则取$0$。

倪举鹏

这里的人都牛  任何问题都有人回答

wayne

在以下图形内随机选取三点构成的三角形的面积的期望值均有很不错的解析解：
http://mathworld.wolfram.com/SquareTrianglePicking.html
http://mathworld.wolfram.com/TriangleTrianglePicking.html
http://mathworld.wolfram.com/DiskTrianglePicking.html  
（链接甚至还给出了方差的值，万能的mathworld）


(1)边长为1的正方形   
$11/144= 0.07638888889$
(2)边长为1的正三角形
$1/12 = 0.08333333333$
(3)半径为1的圆
$\frac{35}{48 \pi ^2} = 0.07388002974$