关于\(\Gamma(\cdot)\)函数和组合数的等式证明

winner245

对于任意自然数\( N \)，如何证明下面的等式：
\[\Gamma^2(N)=\Gamma(2N)\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(-1)^n}{n+N}\binom{N-1}{n}\]
其中，\(\Gamma(\cdot)\)是gamma函数，对于自然数有\(\Gamma(N)=(N-1)!\) .

P.S. 已经用Maple验证了上面等式的合法性

hujunhua

我把它变成了纯组合数：\[1=\sum_{n=0}^{N}{(-1)^n}\binom{2N+1}{N-n}\cdot\binom{N+n}{N}\]
不知道如何给一个组合解释。

Lwins_G

\[ \begin{align*} \Gamma^2(N) &= \left( \int_0^{\infty}e^{-x}x^{N-1}\, \mathrm{d}x \right)^2 \\ &= \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-u}u^{N-1} e^{-v}v^{N-1}\, \mathrm{d}u \, \mathrm{d}v \\ &= \int_0^1 \int_0^{\infty} e^{-x}(tx)^{N-1}((1-t)x)^{N-1}x\, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t  \color{black}{\ \ \ \ (\ \mathrm{Set}\ u=tx, \, v=(1-t)x\ )} \\ &= \left(\int_0^{\infty}e^{-x} x^{2N-1} \, \mathrm{d}x \right) \cdot \left( \int_0^1 t^{N-1} (1-t)^{N-1}\, \mathrm{d}t \right) \\ &= \Gamma(2N) \left( \int_0^1 t^{N-1} \sum_{n=0}^{N-1}(-1)^n \binom{N-1}{n}t^n \, \mathrm{d}t \right) \\ &= \Gamma(2N) \left( \sum_{n=0}^{N-1} \int_0^1 (-1)^n \binom{N-1}{n}t^{N+n-1} \, \mathrm{d}t \right) \\ &= \Gamma(2N)\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(-1)^n}{n+N}\binom{N-1}{n}\end{align*} \]

Any problem?

winner245

Lwins_G 发表于 2014-1-22 17:37
\[ \begin{align*} \Gamma^2(N) &= \left( \int_0^{\infty}e^{-x}x^{N-1}\, \mathrm{d}x \right)^2 \\ &= \ ...

非常感谢楼上2位的帮助！
Lwins_G的思路很特别，感谢！