一道万能的微分方程

wayne · 发表于 2014-1-22 15:45:25

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求下面微分方程的解(注意哦，这是有结论的)：

\(n^2 y'''' (y')^2+3 n (1 - n)y'''y''y'+(2 n^2 - 3 n + 1)(y'')^3=0, n\in Z^+\)

\(n y'''' (y')^2+ (2 -3 n)y'''y''y'+2(n - 1)(y'')^3=0, n\in Z^+\)

Lwins_G · 发表于 2014-1-22 19:27:29

我只能肉眼观察出`y=e^{C_1 x}+C_2`。

rayfekeeper · 发表于 2014-1-23 17:55:12

先找出对应特征方程 \( f(x)=n^2\cdot{x^7}+3n(1-n)x^6+(2n^2-3n+1)x^6=0 \) 解出 \( x=0 \) 或者 \( x=(n^2-1)/n^2 \)
于是能得到方程的两个特征根
\( y=e^{\frac{n^2-1}{n^2}x} \) 和 \( y=C \)
则原方程的解为
\( y=C_1\cdot{e^{\frac{n^2-1}{n^2}x}} + C_2 \)

wayne · 发表于 2014-1-23 21:22:24

是我想岔了.Universal Differential Equation并不是我想象的那样universal ,直接提供链接吧:
http://mathworld.wolfram.com/UniversalDifferentialEquation.html

wayne · 发表于 2014-1-24 11:19:45

y''=0 是上面两个方程的平凡解

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