一个关于组合数的问题

Lwins_G

容易验证，
\[ \frac{\binom{2n}{n} \binom{2m}{m}}{\binom{n+m}{n}} = \frac{(2n)!(2m)!}{n!m!(n+m)!}\]
当`n,m`取自然数时为整数。

是否有递推解法？（类似`\displaystyle \binom{n+m}{n} = \frac{(n+m)!}{n!m!}`为整数的递推解法一般）

wayne

递推解法 是什么意思？

wayne

不知道怎么递推，不过我们借用Multinomial的概念来换一种视角,Multinomial[n,m,n+m] /Binomial [2m+2n,2n]
\[\frac{(2m+2n;n,m,m+n)}{\binom{2n+2m}{2n}}\]

那么$(x+y+z)^{2n+2m}$的$x^ny^mz^{m+n}$的系数就是Multinomial[n,m,n+m]。
但该系数同时还可以根据$(xz)^n(yz)^m$来分步计算。