初中几何题

jmyhyu

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如图：过A作AF垂直AB交BC的延长线于F，交圆O于D，BD交AC于E‘；
由三角形ABC为等边三角形，容易得知: BC=AC=CF,即C为BF的中点；
连接CD，有CD垂直AD，故CD平行AB，CD为三角形ABF的中位线；
由相似三角形，有 ...
guetsxjm 发表于 2008-1-31 20:24

为什么AB交圆于D，而不是其它位置

jmyhyu

其实我给的是我的解题思路，而不是证明过程。
假设结论成立，那么必然有角ACD是60度，所以AB平行CD,
所以BE:ED=AE:EC=2:1
看到这个数据，让我想起了重心，然后就试一试看能够构造一个三角形以E为重心，辅助线就出 ...
mathe 发表于 2008-2-1 15:16

角ACD怎么会是60度，角ACB才是60度吧

jmyhyu

如图：
63
延长CB到CF,BF=CB,连接AF,非常容易可以证明E是三角形CAF的重心，问题就可以简单解决了
mathe 发表于 2008-1-31 13:47

如何证明AD=DF ？

jmyhyu

64

如图：过A作AF垂直AB交BC的延长线于F，交圆O于D，BD交AC于E‘；
由三角形ABC为等边三角形，容易得知: BC=AC=CF,即C为BF的中点；
连接CD，有CD垂直AD，故CD平行AB，CD为三角形ABF的中位线；
由相似三角形，有 ...
guetsxjm 发表于 2008-1-31 20:24

如何证明AF交圆于点D

王守恩

mathe 发表于 2008-1-31 13:47
如图：

延长CB到CF,BF=CB,连接AF,非常容易可以证明E是三角形CAF的重心，问题就可以简单解决了

设圆心为 O，EO=1，OD=3，EB=2，BC=6，
三角形 EOD 相似于三角形 EBC，
角 EOD=角 EBC= 60，得：角 AOD = 120

补充内容 (2021-1-19 17:02):
看19#图：相似比是 2。

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-53-1-1.html*)
   
3. (*以圆心为原点建立坐标系,等边三角形的边长假设等于6,
   
4. C点(0,根号27),E(1,0)*)
   
5. ans=Solve[x^2+y^2==3^2&&y==-Sqrt[27]*(x-1),{x,y}]
   
6. aaa=(ArcTan[y/x]/.ans)//FullSimplify
   

复制代码

点的坐标
\[\left\{\left\{x\to \frac{3}{7},y\to \frac{12 \sqrt{3}}{7}\right\},\left\{x\to \frac{3}{2},y\to -\frac{1}{2} \left(3 \sqrt{3}\right)\right\}\right\}\]

求反正切的结果
\[\left\{\tan ^{-1}\left(4 \sqrt{3}\right),-\frac{\pi }{3}\right\}\]

一言不合就暴力求解,一言不合就解析几何!

mathematica

假设圆心是O，过D点做DF垂直于AB于F，则三角形OCE与三角形FDE相似，
然后直角三角形ODF中，OD的长度知道，
OE长度知道，EF与FD之间的比例知道了，利用勾股定理，很容易求出EF、FD的值，
因此可以计算出角EOD的正切值，然后得到∠EOD的角度等于60°，剩下就容易解决多了

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*假设△ABC的边长是6a,则圆的半径3a,OC=根号27*a,OE=a*)
   
3. DO=OD=3*a;
   
4. EO=OE=a;
   
5. ans=Solve[{DO^2==(OE+EF)^2+DF^2,(*勾股定理*)
   
6.     DF/EF==3*Sqrt[3](*DF/EF=OC/OE=27^0.5*a/a=3*3^0.5*)
   
7. },{EF,DF}]
   
8. ArcSin[DF/OD]/.ans
   

复制代码

\[\left\{\left\{\text{EF}\to -\frac{1}{7} (4 a),\text{DF}\to -\frac{1}{7} \left(12 \sqrt{3} a\right)\right\},\left\{\text{EF}\to \frac{a}{2},\text{DF}\to \frac{3 \sqrt{3} a}{2}\right\}\right\}\]

\[\left\{-\sin ^{-1}\left(\frac{4 \sqrt{3}}{7}\right),\frac{\pi }{3}\right\}\]

dlsh

假设a=-1和b=1可得e=1/3,,取一点D‘(1/2,-根号3/2),容易证明CED’三点共线，所以D‘和D重合