请教大家几道高数题

ctchentong

1、设\(f(x)\)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且\(f(0)=0, f(1)=1\),试证明：
对任意给定的正数\(a, b\), 在(0,1)内存在不同的\(\xi, \eta\) 使\(\dfrac{a}{f'(\xi)}+\dfrac{b}{f'(\eta)}=a+b\).

2、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt{1+\sqrt{2+\dots+\sqrt{(n-1)+\sqrt{n}}}}=?\)

3、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\dots+\sqrt{\frac{1}{n-1}+\sqrt{\frac{1}{n}}}}}=?\)

4、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\dots+\frac{1}{n-1+\frac{1}{n}}}}}=?\)

hujunhua

我不知道怎么把第2题中极限符号后的表达式写成递推公式，甚至一时找不到怎么用Mathematica中的Nest来生成它。

mathe

证明极限存在即可，不一定有简单的表达式

mathe

第一题题目显然错了，猜测为证明
\(\frac{a}{f'(\xi)}+\frac{b}{f'(\eta)}=a+b\)

wayne

\(\lll2\ggg\blacksquare\blacksquare\blacksquare\blacksquare\clubsuit\blacksquare\blacksquare\blacksquare\blacksquare \)

1. n = 1000; N[Fold[ Sqrt[# + #2] &, 0, Reverse@Range[n]], 100]

复制代码

1.757932756618004532708819638218138527653199922146837704310135500385110232674446757572344554000259453
\(\lll3\ggg\blacksquare\blacksquare\blacksquare\blacksquare\clubsuit\blacksquare\blacksquare\blacksquare\blacksquare \)

1. n = 1000; N[Fold[ Sqrt[# + #2] &, 0, 1/Reverse@Range[n]], 100]

复制代码

1.521890386864231504980418735699256193743363382857716106243119000288032134028073472439759969946927422
\(\lll4\ggg\blacksquare\blacksquare\blacksquare\blacksquare\clubsuit\blacksquare\blacksquare\blacksquare\blacksquare \)
连分数已经研究的很成熟了:

1. ContinuedFractionK[k, {k, 1, Infinity}]

复制代码

0.69777465796400798201  =   BesselI[1,2]/BesselI[0,2]

wayne

找到链接了,已经明确 第二问目前没有闭式表达,http://mathworld.wolfram.com/NestedRadicalConstant.html
第三问跟第二问类似, 所以也不大可能有闭式表达的.

ctchentong

wayne 发表于 2014-1-25 17:55
找到链接了,已经明确 第二问目前没有闭式表达,http://mathworld.wolfram.com/NestedRadicalConstant.html
...

那怎么求第二个式子的一个上界?

wayne

根据著名的Ramanujan恒等式,可以得到 上限是3 .
http://mathworld.wolfram.com/Som ... rrenceConstant.html
或者参考本论坛的帖子: 恒大亚冠决赛海报

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将根号里的自然数数列的各项分别替换成\(x,x+1,x+2,x+3,\ldots\),并标记为\(f(x)\).

即 \(f(x)=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt{x+\sqrt{x+1+\dots+\sqrt{(x+n-1)+\sqrt{x+n}}}}\)
那么我们可以得到递推恒等式 :  \(f(x)^2 =x +f(x+1)\)
进而得到\( f(x)>\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2} \).

mathe

你这个是下界
计算上界可以证明对于$n>=4$总有$sqrt(2(x+n))<x+(n-1)$
于是必然可以得出极限不超过$sqrt(x+sqrt(x+1+sqrt(x+2+sqrt(2x+6))))$

mathe

\[f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+1+\dots+\sqrt{(x+n-1)+\sqrt{x+n}}}}<\sqrt{x+\sqrt{x+1+\dots+\sqrt{(x+n-1)+\sqrt{2(x+n)}}}}\]