完美的五猴分桃类型题简易通解公式一一敬献给若贝尔奖获得者李政道博士

陈小刚

        
                                     完美的五猴分桃类型题简易通解公式
                   一一敬献给若贝尔奖获得者李政道博士
                                                  
                                                                   中国湖南省祁阳陈小刚

       序：“五猴分桃问题”的前身是国外著名的“水手分椰子问题”,剧说，最早是由伟大物理学家狄拉克于1926年提出来的, 随后, 在经过美国数学科普大师马丁* 加德纳的介绍、推广后,该题得到了更为广泛的流传。1979年,“诺贝尔奖”获得者李政道博士, 序：“五猴分桃问题”的前身是国外著名的“水手分椰子问题”,剧说，在“中国科技大学少班”讲学时，特意提到此题。此后, 研究该题的简易计算方法，迅速风靡国内

       曾对“水手分椰子”的广泛流传起过重要作用的, 著名现代数理逻辑学家怀德海, 对此题给出过一个答案为(-4)巧妙的特解。在后来者的不断努力下,一些比较简便的方法也逐步出现。但严格的来说：目前所取得的成果，基本上还是局限于“五猴分桃”这一个具体题目上,离全面而又简捷地求解所有这种类型的题目，还存在着较大的距离。

       1979年,本人受益李政道对该问题的推广,有幸在月刊《中国青年》看到了“五猴分桃”一题，并用不定方程求得其解。随后演算推导出能解决所有这种类题型目的简易通解公式:y=a^n-db/c 。但直到前段时期才惊呀发现: 寻找“五猴分桃”类型题的简易计算方法，竟是一个有着较深背景的，国内、外已研讨了数十年的热门话题,而且至今仍未找到较好解决办法。于是本人通过继续对该问题的分析研究，进一步完善了该简易通解公式的求解体系，现发表如下,与大家共同分享：

        一.五猴分桃问题的求最小解通解公式

通解公式 (1), y=a(a/m)^(n-1)－db/c,(用于b/c为正整数时)
通解公式 (2), y=[ka(a/m)^(n-1)－db]/c,(用于b/c不为正整数时)
其中:                  
  y ── 被分的母物的(这里是桃子)总个数
  n ── 总共分的次数
  a ── 每次分的份数,
  b ── 每次分a份后的余数.
  c ── 每次分a份后拿走的份数,
  d ── 每次分a份后拿走c份后,剩下再分的份数.
  m —— (a/d)是包括m=1在内的最大公约数
  k —— 公式(2)中能使y值为整数的参数
  注：
（a）在上试公式中，按照这种类型题题意的要求；y、a、b、c、d、n、m、都为正整数(反之无意义）
（b）对于公式(1)，若b/c为正整数,则通解公必定会有解。若b/c不是一个正整数,则用通解公式(2)求解,
  (c）对于公式(2)，若b/m为正整数,则通解公必定会有解。若b/m不是一个正整数,则通解公式(2)无解。,
（b）公式（2）中的k，可通过求k公式:  k=(fc+b)(m/d)^(n-1)而得到, (试中k大于等于0, f 是能使k取整的自然数, 在一般情况下, k会小于=c),然后再将k值代进公式2, 便可很容易的直接得到解。

      二，通解公式的推导及论证
      1，推导公式例题，“九猴分桃”
      由于“五猴分桃”在本人推导出的“通解公式”里，已成了一个很简单的计算题目，不足以说明公式对这种类型题目的,全方位的通解能力；故加大该题目难度和复杂性，改成“九猴分桃”，其题如下：
      话说某天有9只猴子忙了一整天，采摘了一堆很大的桃子后，都因太疲劳而睡着了。晚上某只猴子先悄悄的起床, 将桃子分成9份，结果发现多了8个桃子于是它吃掉这8个桃子，并贪心的拿走了9份中的2份，然后把剩下的桃子混在一起放回原处后，悄悄的回去睡觉了。
过了一会儿，另一只猴子也悄悄的起床，将剩下的桃子也分成9份, 结果也刚好多余8个桃子；它也吃掉了这8个桃子，然后也藏了9份中的2份，把剩下的桃子混在一起，也悄悄滴回去睡觉了。
      又过了一会儿 ......  
      又过了一会儿 ......  
      当第7只猴子也像前面的6只猴只一样，把桃子也分成了9份, 得意的吃着多余的8个桃子时,这时突然有几只老虎吼叫而来，吓得9只猴子连蹦带窜，落荒而逃。现在，请问各位，这堆桃子最少共有多少个,

      2，通解公式推导及论证
      推导方法一
      设: 被分的桃子数总共为y个，每次分的总份数为a, 余数为 b.每次分a份后拿走的为c份，剩下再分的份数为b ，总共分的次数为n次，最后一个人分a份时的每份为x（x为正整数）

那么, 最后一个分到桃子的猴子,看到的桃子数是 ：ax+b
上一个猴子看到的桃子数则为 ：(xa+b)a/d+b= a^2x/d＋ba/d＋b。
再上一个猴子看到的桃子数为 ：(a^2x/d＋ab/d＋b)a/d＋b= a^3x/d2＋b(a/d)^2＋b（a/d）＋b。  
同样：再上一个猴子看到的桃子数为：a^4x/d^3＋b(a/d)^3＋b(a/d)^2＋b(a/d)＋b。
也同样有，最初一个猴子看到的桃子数为： a^7x/d^6＋[(a/d)^6＋(a/d)^5＋(a/d)^4＋(a/d)^3＋(a/d)^2＋(a/d)＋1]b。
根据等比数例递推公式并加以整理有：      

y={a^nx＋{a^(n-1)[1-(d/a)^n]/(1-d/a)}b}/d^(n-1)
  ={a^nx＋{a^(n-1)[1-(d/a)^n]}ba/c}//d^(n-1)
  =[a^nx＋a^(n-1)- a(n-1)d^n/a^n)ad/c]/d^(n-1)   
  =[a^nx＋(a^n-d^n)b/c]/d^(n-1)
  =(a^nx＋a^nb/c-d^nb/c)/d^(n-1)
  =(a^nx＋a^nb/c)/d^(n-1)-db/c
从而得到式(1)y=a^n(x＋b/c)/d^(n-1)-db/c

算式推导这里时，出现了三种情况
     （1）当上式中的a(a/d)^(d^(n-1)部分, 若(a/d)无公约数时,则a^n与d^(n-1)互质, 故上式可进一步写成：y=a^n[(x＋b/c)/d^(n-1)]-db/c
从上式可看出：根据题意d^(n-1)必然是正整数,当(b/c)也为正整数，则(x+b/c)/d^(n-1) 必可取得最小自然数1, 或1 的任意整倍数,即y=ka^n－db/c故(b/c)为正整数时公式必定有解,通常在计算时为了简便，k一般取最小自然数1, 则上述方程可简写成，简易公式：y=a^n－db/c,这个公式可看作是所有这种类型题目的一个通解，但不一定是最小解。
  
     （2）若出现(a/d)有公约数这种情况时，此时y值，还会有比公式，y=a^n－db/c更小的解，
       现在我们接着  y=a^n(x＋b/c)/d^(n-1)-db/c，这一步继续求证，设m为(a/b)的最大公约数，则有：
y＝a[(a/m)/(d/m)]^(n-1)(x＋b/c)-db/c
＝a(a/m)^(n-1)(x＋b/c)/(d/m)^(n-1) -db/c。

根据上面第一种情况后面的同样道理，可得到：y=a(a/m)^(n-1)－db/c
显然，如果我们把 1也看做是（a/d）的公约数，那么当（a/d）的公约数只有 1时，则y＝a(a/m)^(n-1)－db/c＝a^n－db/c。
也就是说：后者实质上是前者特殊形式，而y＝a(a/m）n-1－db/c，则是当b/c为整数时,求解所有的此种类型题的最小解的通解公式。它的解集为：y＝ka(a/m）n-1－db/c
   
       (3),若b/c不为正整数,则可用通解公式；y=[ka(a/m)^(n-1)－db]/c.来求解,其证明如下:
       对于基础方程: y= ka(a/m)^(n-1)(x＋b/c)/(d/m)^(n-1) -db/c。,可将其中的 a(a/m)^(n-1)(x＋b/c)/(d/m)^(n-1) 部分的分子分母同剩以c,得到y=ka(a/m)^(n-1)(x＋b/c)c/c(d/m^(n-1)-db/c,(记为w)并使得(x＋b/c)c=k(d/m)^(n-1) (k正数)这样式w便成了 y=ka(a/m)^(n-1)/c-db/c,进一步变形得到即通解公式2; y=[ka(a/m)^(n-1)-db]/c
       有了这个已得到通解公式,a(a/m)^(n-1)－db/c 以及对推导过程关健点的分析,我们便能很容易的得到; 通解公式推导方法二和推导方法三。

推导方法二
设: 第一次分配时,拿走数量为：(y-b)c/a；   剩下再分配的数量则为：(y-b)d/a。
第二次分配时拿走数量为：{[(y-b)c/a] -b}c/a； 则剩下再分配的数量为:  [(y-b)d/a.-b]d/a=(y-b)(d/a^2)-bd/a。
同样有: 第三次,剩下再分配的数量为：(y-b)(d/a/)^3-b(d/a)^2-bd/a，
第四次,剩下再分配的数量为：(y-b)(d/a/)^4-b(d/a)^3- b(d/a)^2-bd/a，
然后依次往后推 …… 最后可得到：第七次剩下再分配的数量为：

x=[(y-b)(d/a)^7-b(d/a)^6-b(d/a)^5-b(d/a)^4-b(d/a)^3- b(d/a)^2-bd/a]1/a
yd^6/a^7-x=( d^6/a^7 +d^5/a^6 +d^4/a^5 +d^3/a^4 +d^2/a^3+d/a^2+1/a)b
根据数列递推公式并整理后有:  yd^(n-1)/a^n-x={1/a[1-(d/a)^n]b}/1-d/a

  Yd^(n-1)/a^n-x=(1/a-d^na^n+1)ba/c
  Yd^(n-1)/a^n=b/c-bd^n/ca^n+x
  y=(b/c-bd^n/ca^n+x)a^n/d^(n-1)
  y=ba^ncd^(n-1)+a^nx/d^(n-1)-bd/c
  y=(ba^n+xa^nc)/cd^(n-1)-bd/c
  y=a^n(b+cx)/cd^(n-1)-bd/c
  Y=ca^n(x+b/c)/cd^(n-1)-db/c
  y=a^n(x+b/c)/d^(n-1)-db/c,  

      这个推导(二)虽然比推导(一)要简单，但最后两步有具很大的跳跃性，且又不符合推导这类题型的正常思维，故很难想到。只是由于我们已经看到,目前的公式形态已非常接近目标公式y=a(a/m)^(n-1)－db/c 形态,于是我们才会想到可以这样去推导。
      后面的公式演算,与推导方法一相同,即接着y＝y=a(a/m)^(n-1)(x+b/c)/(d/m)^(n-1) -db/c。这部分继续推算，最后也可得到简易通解公式：y＝y=a(a/m)^(n-1)－db/c和 y=[ky=a(a/m)^(n-1)－db]/c。

推导方法三
       设：第7次分桃子的猴子看到的桃子数为：ax＋b ,(x为,最后一次分a份时每份的个数) 。
       第6次分桃子的猴子看到的桃子数为：(ax＋b)a/d＋b=a^2x/d＋ba/d＋b。  
       同样有，第5次分桃子的猴子看到的桃子数为：
(a^2x/d＋ab/d＋b)a/d＋b=a^3x/d^2＋b(a/d)^2＋ba/d＋b。   
然后，再一路往后推，可得第一次分桃子的猴子看到的桃子数为：
y=a^7x/d^6＋[(a/d)^6＋(a/d)^5＋(a/d)^4＋(a/d)^3＋(a/d)^2＋(a/d)＋1]b,
中括号内是一个公比为(d/a)的等比数例,根据等比数例递推公式有：

y=a^nx/d^(n-1)＋{(a/d)^(n-1[1－(d/a)^n/(1－d/a)]}/b
  =a^nx/d^(n-1)＋[(a/d)^(n-1)－d/a]ab/c
  =a^nx/d^(n-1)＋ba^n/cd^(n-1)－db/c
  =(ca^nx＋ba^n)/cd^(n-1)－db/c
  =a^n(cx＋b)/cd^(n-1)－db/c
  =a^n[(cx＋b)/cd^(n-1)]－db/c
y=a^n[(x＋b/c)/d^(n-1]－db/c，
这里跟据推导方法一，也同样可得到通解公式一：y=a(a/m)^(n-1)－db/c和通解公式二, y=[ka(a/m)^(n-1)－db]/c

      三，结论
      本文在解决“五猴分桃问题”简易计算方法这个问题上，跳出了单个、局部考虑问题的思路, 从这个问题的分的规律来寻找整体解决方案，得到了简易通解公式(1):y=a(a/m)^(n-1)－db/c。和它的姊妹公式(2):y=[ka(a/m)^(n-1)－db]/c。在通解公式里，1、由于a和n可为任意数,且其它影响计算结果的因素又都可以是变量; 因此 这个公式穷极了,求解这类问题的深度和广度。2、各个变量基本上都没有相关的系数计算，且基本上都是单独出现,另外公式有解无解的条件也简单明了， 因此这个通解公式应又是求解这种类型题的最简计算公式。3通解公式所得到的解，又是符合这类题目的求最小解的要求， 因此可以说，这个提出来已半个多世纪的数学问题 ，已经得到较园满的解决



                                                                              通解公式发表日期 2012-4-21
                                                                              通解公式修改日期 2014-1 -6