从几何意义出发产生的不等式

葡萄糖

在单位圆上任意两点 \( A(\cos\theta_1, \sin\theta_1) \) ,点 \( B(\cos\theta_2, \sin\theta_2) \) ,有 \( |AB|<\widehat{AB} \) ，则(翻译为代数语言为)：
\[ \sqrt{(\cos\theta_1-\cos\theta_2)^2+(\sin\theta_1-\sin\theta_2)^2}<\theta_2-\theta_1 \]
将它求和(累加)起来，得：
\[ \sum_{i=1}^n\sqrt{1-cos(\theta_{i+1}-\theta_{i})}<\frac{\theta_n-\theta_1}{\sqrt2}-\sqrt{1-cos(\theta_{n}-\theta_{1})} \]
换成星形线，得到：
\[ \sqrt{(\cos^3\theta_1-\cos^3\theta_2)^2+(\sin^3\theta_1-\sin^3\theta_2)^2}<\text{星形线的弧长} \]
请问：推广的形式为什么样？

http://kuing.orzweb.net/viewthre ... &extra=#pid6697