椭圆的一个有关弧长的性质

葡萄糖

椭圆\(x^2/4+y^2=1\)上顶点\(B\)，右顶点\(A\)，\(P\)在椭圆弧\(AB\)上，\(P(\frac{2\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})\)，求 \(\text{椭圆弧}BP-\text{椭圆弧}AP=?\)
在想这个东西的时候有背景
关键是这样一个几何性质：
过M点的切线平分角BMA，这是关键，接下来就是运动法

gxqcn

文字描述说 \( A, B \) 两点是椭圆的右顶点、上顶点，
但图片上的并非如此，怎么回事？

还有，“过M点的切线平分角BMA”—— 没有交代点M及何曲线的切线，图上也没表达清楚，很是突兀。

葡萄糖

gxqcn 发表于 2014-2-22 16:13
文字描述说 \( A, B \) 两点是椭圆的右顶点、上顶点，
但图片上的并非如此，怎么回事？

图片是背景，更广义的结论！

Lwins_G

楼主经常从别的地方转载一些内容过来，这很好。但是我觉得应该维护一下内容，使得它清晰可读。

葡萄糖

好吧！
我把原图传来，你看完就把它删了吧！

kastin

葡萄糖 发表于 2014-2-22 20:42
好吧！
我把原图传来，你看完就把它删了吧！

过M点的切线确实平分角`\angle BMA`，原理很简单，因为椭圆外一点作两切线，则有`\angle F_1MB`=`\angle F_2MA`(假设`F_1、F_2`分布为左焦点和右焦点)；同时对于双曲线，过M的切线平分`\angle F_1MF_2`。从而过M的切线平分`\angle BMA`。

但是对于弧长差如何表示，若直接处理则较为麻烦，应该有巧妙的方法。

zuijianqiugen

椭圆弧BP-椭圆弧A=1
参见《椭圆的有关性质》和《内切椭圆、外接椭圆与共轭双曲线》
http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 062201422075039623/
http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 406220142214265217/

kastin

zuijianqiugen 发表于 2014-3-21 16:51
椭圆弧BP-椭圆弧A=1
参见《椭圆的有关性质》和《内切椭圆、外接椭圆与共轭双曲线》
http://zuijianqiugen ...

证明？弧长如何处理？

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-3-25 13:22
证明？弧长如何处理？

因为P点是椭圆的共轭点，见3#楼的图形，
所以椭圆弧BP-椭圆弧AP=MB-MA=a-b=2-1=1

zuijianqiugen

zuijianqiugen 发表于 2014-3-28 00:44
因为P点是椭圆的共轭点，见3#楼的图形，
所以椭圆弧BP-椭圆弧AP=MB-MA=a-b=2-1=1

这个证明需要用到第二类椭圆积分的加法定理。