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[转载] 椭圆的一个有关弧长的性质

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发表于 2014-2-22 15:58:49 | 显示全部楼层 |阅读模式

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椭圆\(x^2/4+y^2=1\)上顶点\(B\),右顶点\(A\),\(P\)在椭圆弧\(AB\)上,\(P(\frac{2\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})\),求 \(\text{椭圆弧}BP-\text{椭圆弧}AP=?\)
在想这个东西的时候有背景
关键是这样一个几何性质:
过M点的切线平分角BMA,这是关键,接下来就是运动法
搜狗截图20140222155613.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-2-22 16:13:17 | 显示全部楼层
文字描述说 \( A, B \) 两点是椭圆的右顶点、上顶点,
但图片上的并非如此,怎么回事?

还有,“过M点的切线平分角BMA”—— 没有交代点M及何曲线的切线,图上也没表达清楚,很是突兀。
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 楼主| 发表于 2014-2-22 16:16:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2014-2-22 16:23 编辑
gxqcn 发表于 2014-2-22 16:13
文字描述说 \( A, B \) 两点是椭圆的右顶点、上顶点,
但图片上的并非如此,怎么回事?

搜狗截图20140222162310.png
图片是背景,更广义的结论!
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发表于 2014-2-22 18:18:09 | 显示全部楼层
楼主经常从别的地方转载一些内容过来,这很好。但是我觉得应该维护一下内容,使得它清晰可读。

点评

我怕传太大了占空间  发表于 2014-2-22 20:39
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2014-2-22 20:42:25 | 显示全部楼层
好吧!
我把原图传来,你看完就把它删了吧!
QQ图片20140222204042.jpg QQ图片20140222204031.jpg QQ图片20140222204037.jpg
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发表于 2014-3-18 19:01:29 | 显示全部楼层
葡萄糖 发表于 2014-2-22 20:42
好吧!
我把原图传来,你看完就把它删了吧!

过M点的切线确实平分角`\angle BMA`,原理很简单,因为椭圆外一点作两切线,则有`\angle F_1MB`=`\angle F_2MA`(假设`F_1、F_2`分布为左焦点和右焦点);同时对于双曲线,过M的切线平分`\angle F_1MF_2`。从而过M的切线平分`\angle BMA`。

但是对于弧长差如何表示,若直接处理则较为麻烦,应该有巧妙的方法。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-3-21 16:51:06 | 显示全部楼层
椭圆弧BP-椭圆弧A=1
参见《椭圆的有关性质》和《内切椭圆、外接椭圆与共轭双曲线》
http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 062201422075039623/
http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 406220142214265217/
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2014-3-25 13:22:06 | 显示全部楼层
zuijianqiugen 发表于 2014-3-21 16:51
椭圆弧BP-椭圆弧A=1
参见《椭圆的有关性质》和《内切椭圆、外接椭圆与共轭双曲线》
http://zuijianqiugen ...

证明?弧长如何处理?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2014-3-28 00:44:28 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2014-3-25 13:22
证明?弧长如何处理?

因为P点是椭圆的共轭点,见3#楼的图形,
所以椭圆弧BP-椭圆弧AP=MB-MA=a-b=2-1=1

点评

3楼只是一个特殊位置的情况。并且为什么弧长差就等于切线长度之差呢?  发表于 2014-3-28 10:09
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发表于 2014-3-29 20:31:25 | 显示全部楼层
zuijianqiugen 发表于 2014-3-28 00:44
因为P点是椭圆的共轭点,见3#楼的图形,
所以椭圆弧BP-椭圆弧AP=MB-MA=a-b=2-1=1

这个证明需要用到第二类椭圆积分的加法定理。

点评

能将计算过程写出来吗??  发表于 2014-3-29 22:05
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