根据不等式基本性质，如何用最少的讨论次数证明|a+b|<=|a|+|b|

dianyancao

根据不等式基本性质，如何用最少的讨论次数证明下式：
\[ |a+b|\leq|a|+|b| \]

dianyancao

还有一个：
\[ \abs{\frac{\epsilon_1\Delta x+\epsilon_2\Delta y}{\sqrt{{\Delta x}^2+{\Delta y}^2}}}\leq \abs{\epsilon_1} +\abs{\epsilon_2} \]

gxqcn

不等式基本性质——是指下面这几个吗？
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。
基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。

dianyancao

是的，还有绝对值函数根据参数正负取值
根据 \(a \geq 0\) 或 \(a \lt 0\) 来讨论，步骤较多

hujunhua

\(|a+b|\le|a|+|b|\)，可以将两边平方吧。不用分情况讨论，直接一统证明。

\(2ab\le2|ab|\\\iff a^2+2ab+b^2\le a^2+2|ab|+b^2\\\iff(a+b)^2\le(|a|+|b|)^2\\\iff|a+b|\le|a|+|b|\)

二楼的不等式也可以通过平方来直接证明。这算不算直接运用不等式的基本性质的方法呢？

dianyancao

hujunhua 发表于 2014-3-16 23:43
\(|a+b|\le|a|+|b|\)，可以将两边平方吧。不用分情况讨论，直接一统证明。

\(2ab\le2|ab|\\\iff a^2+2ab ...

有不等式\(x_1 \leq x_2\)
若\(f'(x) \geq 0 \),即\(f(x)\)单调不减，则
\(f(x_1) \leq f(x_2) \iff x_1 \leq x_2\)

取平方对应的变换函数为:
\(f(x)=x^2\)
其导函数为：
\(f'(x)=2x \geq 0 \space \space (x \geq 0)\)

这个应该也可以作为不等式基本性质吧?
取平方比我的证明方法简单啊

gxqcn

如果用到了函数的单调性，还有导数等高级手法，
那直接用“琴生不等式”即可。
不过这是站在许多推理结论的基础上的，谈不上“基本性质”了。

hujunhua

不妨假定\(a\ne0\), 可设\(x=b/a\), 两边除以\(|a|\)将原不等式化为\(|1+x|\le1+|x|\)，于是只需要讨论一个变量\(x\)就行了。

dianyancao

gxqcn 发表于 2014-3-17 08:21
如果用到了函数的单调性，还有导数等高级手法，
那直接用“琴生不等式”即可。
不过这是站在许多推理结论 ...

是的，詹森（Jensen）不等式很强大
由于绝对值函数\(f(x)\)是下凸函数,所以
\(f(\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}x_2) \leq \frac{1}{2}f(x_1)+\frac{1}{2}f(x_2) \\
|\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}x_2| \leq \frac{1}{2}|x_1|+\frac{1}{2}|x_2| \\
|x_1+x_2| \leq |x_1|+|x_2|\)

dianyancao

hujunhua 发表于 2014-3-17 14:03
不妨假定\(a\ne0\), 可设\(x=b/a\), 两边除以\(|a|\)将原不等式化为\(|1+x|\le1+|x|\)，于是只需要讨论一个 ...

是啊，这个不等式是齐次的，我都没注意到
我的方法是：
\(\pm a\leq |a|,\pm b\leq |b| \\
|a+b|=\pm a \pm b \leq |a|+|b|
\)