Quake III中不可思议的求解平方根实现方法

mathe

转自: http://blog.donews.com/snailact/archive/2006/04/01/806368.aspx

任何一个3D引擎都是通过其内部的数学模型和实现工具来展现它的力量与速度的，and trust John Carmack of ID software for using really good hacks. 结果，Quake III中使用了一个非常有意思的技巧来计算平方根倒数（inverse square root）

前言
ID software最近发布了它的带有Gpl许可证的Quake III引擎源代码，在这篇文章中我们将会看到Carmark是怎样用他的black magic来极其迅速地计算一个浮点数的平方根的。

Carmack's 不寻常平方根倒数
对文件game/code/q_math.c的快速一瞥就显示出了许多有趣的performance hacks。
第一个跳出来的便是对函数Q_rsqrt中对0x5f3759df的使用，这个数计算了一个浮点数的inverse square root，但是为什么这个函数有这样的功能呢？
观察q_math.c原本的函数：

1. 
   
2. float Q_rsqrt( float number )
   
3. {
   
4.   long i;
   
5.   float x2, y;
   
6.   const float threehalfs = 1.5f;
   
7.   x2 = number * 0.5f;
   
8.   y  = number;
   
9.   i  = * ( long * ) &y;  // evil floating point bit level hacking
   
10.   i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
    
11.   y  = * ( float * ) &i;
    
12.   y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
    
13.   // y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
    
14.   #ifndef Q3_VM
    
15.   #ifdef __linux__
    
16.     assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
    
17.   #endif
    
18.   #endif
    
19.   return y;
    
20. }
    

复制代码

它不仅有效，甚至在某些CPU上，Carmack的Q_rsqrt 比(float)(1.0/sqrt(x)的计算快4倍，尽管sqrt()通常使用的是FSQRT的汇编指令！
在另一个文件code/common/cm_trace.c 中，我们发现了更简洁的对同样HACK的实现。这一次，它被用来计算一个float - sqrt(x)的平方根。注意，其中的唯一不同是在返回值上－－用返回*y取代了返回y。

1. 
   
2. /*
   
3. ================
   
4. SquareRootFloat
   
5. ================
   
6. */
   
7. 
   
8. float SquareRootFloat(float number) {
   
9.     long i;
   
10.     float x, y;
    
11.     const float f = 1.5F;
    
12.     x = number * 0.5F;
    
13.     y  = number;
    
14.     i  = * ( long * ) &y;
    
15.     i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
    
16.     y  = * ( float * ) &i;
    
17.     y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
    
18.     y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
    
19.     return number * y;
    
20. }
    

复制代码

牛顿对根的近似值 (mathe: 这里应该是牛顿迭代法,但是按照后面的算法,应该是弦截法)
上面的代码执行了众所周知的牛顿对根的近似值[3],像绝大多数其它迭代求近似值的计算一样，牛顿近似值假定是迭代的；每一次迭代都增强了它的准确度直至达到需要的准确度。

在牛顿近似值中的一般想法是我们我们猜测一个数x的平方根值y，我们可能通过一个简单的操作用x/y来拉平y来取得更好的猜测，使其更接近实际的平方根，例如，我们像下面这样计算2的平方根，我们假定初始的猜测是1：
2/1 = 2 ;  (2 + 1) / 2 = 1.5
2/1.5 = 1.3333; ( 1.5 + 1.3333 ) / 2 = 1.4167
2/1.4167 = 1.4117;  ( 1.4167 + 1.4117 ) / 2 = 1.4142
And so on...


如前面所提到的，牛顿的近似值是一个大家所熟知的用以快速计算平方根的方法。但是，Carmack在初始的猜测中就选取的不寻常的值，它彻底加强了准确度并且将Quake III中计算所要的值的迭代次数降到了1次！


魔数
这个函数中真正有意思的方面是神奇的常量0x5f3759df，用来计算初始猜测的，在

i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );

因此，把输入除以2并从神奇常量中减去。这个常数工作起来几乎是完美的－－对于一个 low relative error of 10^-3来说只要一次牛顿近似值迭代就够了。如评论中第二次迭代中展示的，这个近似值对Quake III引擎来说已经足够了。

结果，这个神奇的常数0x5f3759df成了一个迷了，在文章"Fast Inverse Square Root" [2] ，普度大学的数学家Chris Lomont研究了这个常数，用了几种精细的技术，Lomont想自己用数学方法求出这个常数来，结果令人惊奇－－Lomont用数学方法计算出来的最佳常数(0x5f37642f)有一点点不同，并且除了理论上强一些之外，它产生的结果并没有源代码中使用的原始常数好！确实，John Carmack 一定用了天才般的黑盒来找到这个常数。

只在仅仅从数字上来找的方法中，Lomont找到了一个更好的常数，这个数比原始的那个强了那么一点点。然而，实践中两个常数产生了大概相同的结果，Lomont提出这个使用了更好的常数的函数：

1. 
   
2. float InvSqrt(float x)
   
3. {
   
4.   float xhalf = 0.5f*x;
   
5.   int i = *(int*)&x; // get bits for floating value
   
6.   i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
   
7.   x = *(float*)&i; // convert bits back to float
   
8.   x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
   
9.   return x;
   
10. }
    

复制代码

无心人

看到过

呵呵

只能叹服

妙，实在是妙阿。

gxqcn

在GameDev.net上有人做过测试，该函数的相对误差约为0.177585%，速度比C标准库的sqrt提高超过20%。如果增加一次迭代过程，相对误差可以降低到e-004的级数，但速度也会降到和sqrt差不多。据说在DOOM3中，Carmack通过查找表进一步优化了该算法，精度近乎完美，而且速度也比原版提高了一截（正在努力弄源码，谁有发我一份）。

值得注意的是，在Chris Lomont的演算中，理论上最优秀的常数（精度最高）是0x5f37642f，并且在实际测试中，如果只使用一次迭代的话，其效果也是最好的。但奇怪的是，经过两次NR后，在该常数下解的精度将降低得非常厉害（天知道是怎么回事！）。经过实际的测试，Chris Lomont认为，最优秀的常数是0x5f375a86。如果换成64位的double版本的话，算法还是一样的，而最优常数则为0x5fe6ec85e7de30da（又一个令人冒汗的Magic Number - -b）。

这个算法依赖于浮点数的内部表示和字节顺序，所以是不具移植性的。如果放到Mac上跑就会挂掉。如果想具备可移植性，还是乖乖用sqrt好了。但算法思想是通用的。大家可以尝试推算一下相应的平方根算法。

以上转自：http://www.52rd.com/Blog/Detail_RD.Blog_Roddger_4627.html

无心人

挂掉？

常数如果落在一个特定的区间
还是可以逐步逼近最后的结果的

但如果超过区间
则会偏离

不知道对64位表示的Double
其平方根倒数的牛顿迭代
初始值保证会收敛的区间
怎么获得？