a^n+b^n+c^n……问题

方程组
a+b+c+d=1
a^2+b^2+c^2+d^2=2
a^3+b^3+c^3+d^3=3

求a^4+b^4+c^4+d^4=?

如果加上a^4+b^4+c^4+d^4=4,这个4次方程组的解如何 有没有简单的三角表达式
增加项数呢，5次方程组……

fungarwai

先试试韦达系数与等幂和互相转化的方法

$ab+ac+ad+bc+bd+cd=\frac{1}{2}(a+b+c+d)^2-\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2+d^2)=\frac{-1}{2}$

$abc+abd+acd+bcd=\frac{1}{6}(a+b+c+d)^3-\frac{1}{2}(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2)+\frac{1}{3}(a^3+b^3+c^3+d^3)=\frac{1}{6}$

$a^4+b^4+c^4+d^4=(a+b+c+d)^4-4(a+b+c+d)^2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2+4(a+b+c+d)(abc+abd+acd+bcd)-4abcd=\frac{25}{6}-4abcd$

$abcd=\frac{1}{24}(a+b+c+d)^4-\frac{1}{4}(a+b+c+d)^2(a^2+b^2+c^2+d^2)+\frac{1}{8}(a^2+b^2+c^2+d^2)^2+\frac{1}{3}(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3)-\frac{1}{4}(a^4+b^4+c^4+d^4)=\frac{1}{24}$

$24x^4-24x^3-12x^2-4x+1=0$

zuijianqiugen

参见《代数方程的韦达定理与牛顿公式》  
http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 062201172461933210/

fungarwai

http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=535&extra=page%3D1

$s_m=\sum_{r_i=0}^{\lfloor \frac{m}{i} \rfloor} \frac{m(r_1+r_2+...+r_n -1)!}{r_1!r_2!...r_n!} \prod_{i=1}^n (-a_{n-i})^{r_i},\sum_{i=1}^n ir_i=m$

$a_{n-m}=\sum_{r_i=0}^{\lfloor \frac{m}{i} \rfloor} \prod_{i=1}^m \frac{(-s_i)^{r_i}}{i^{r_i} r_i !},\sum_{i=1}^m ir_i=m$