七次方程简化问题

数学星空

对于一般的七次代数方程\[\begin{equation}x^7+ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+gx+h=0\label{eq1}\end{equation}\]

有下面相关的问题已被研究：

• 可以将\eqref{eq1}简化为\[\begin{equation}y^7+s_1y^2+s_2y+s_3=0\label{eq2}\end{equation}\]
  注：Gordan曾讨论了有关168个代换的Galois群的七次方程的问题，并完成了七次方程化为三元问题的工作
         Ueber Gleichungen siebenten Grades mit einer Gruppe von 168 Substitutionen,Math.Annalen,Vol.20(1882),pp.515-530,and Vol.25(1885),pp.459-521
  
  
• 三元七次方程能否进一步用两变量表示？
  
  即希尔伯特第13个问题（一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性）
  
  七次方程 \(y^7+sy^3+ty^2+ry+1=0\) 的根依赖于3个参数\(s、t、r\) , \(y=y(s,t,r)\)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。
  
  1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在\(［0，1］\)上连续的实函数\(f(x_1，x_2，x_3)\)可写成形式\(\sum_{i=1}^9 h_i\Big(\theta_i(x_1,x_2),x_3)\Big)\)，这里\(h_i\)和\(\theta_i\)为连续实函数。
  
  柯尔莫哥洛夫证明\(f(x_1, x_2, x_3)\)可写成形式\(\sum_{i=1}^7 h_i\Big(\theta_{i1}(x_1)+\theta_{i2}(x_2)+\theta_{i3}(x_3)\Big)\)这里\(h_i\)和\(\theta_i\)为连续实函数，\(\theta_{ij}\)的选取可与\(f\)完全无关。
  
  1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。
  

有谁能提供有关上面结论的相关资料或者论文？