孩子的问题

yyy_fcz

孩子问我一道题，\(2^n=n^2\)，求\(n\)是多少？
我说是2和4，但他要详细解题步骤。我对等式两边求导，得\(2n=n\cdot2^{n-1}\)，解得\(n=2\)。但得不到\(n=4\)的解。用对数也没找到解题步骤。
哪位帮帮忙！？

kastin

你的这种操作不是同解的，即2^n=n^2与2n=n.2^(n-1)不是等价的，求导一般会原函数的信息，因为只要相差常数，导函数仍然相等。正确的做法就是使用非线性方程求解算法。或者试探出解，并通过单调性来确定解的个数。

hujunhua

你的做法是完全錯误的，\(f(x_1)=?g(x_1)\)与\(f'(x_1)=?g'(x_1)\)毫无关系。而且，你还把指数函数的导数公式搞錯了。
\((2^n)'=\ln2\cdot2^n\)

wayne

非线性方程的求根问题是没有大一统的解析方法的, 基本上都是根据函数单调性数值解决的.
你就跟孩子画图,看图有三个交点,然后观察,回代验证得知,有2,4两个正根即可.

如果孩子好奇心足够强,你就说通过数值计算方法算出 那个负的实根是:   -((2 ProductLog[Log[2]/2])/Log[2])   =  -0.7666646960

hujunhua

对数+导数方法.
两边取对数得\(2\ln n=n\ln2\),  化成\(\frac{\ln n}{n}=\frac{\ln2}2\), 令\(f(x)=\frac{\ln x}x\), 对\(f(x)\)求导数，讨论单调性即可。