以\(1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\)为根的有理系数多项式的最小次数

葡萄糖

\(x^6-6x^5-3x^4+118x^3-387x^2+504x-226=0\)
好像要用到增广矩阵

数学星空

令\(x=1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\),则可以构造以\(x\)为根的最小次数整系数方程

\(\bigl((x-1-\sqrt{2})^3-3\bigl)\bigl((x-1+\sqrt{2})^3-3\bigl)=x^6-6x^5+9x^4-2x^3+9x^2-60x+50=0\)

注：楼上\(x^6-6x^5-3x^4+118x^3-387x^2+504x-226＝\bigl((3x^2-12x+11)\sqrt{2}-(x^3-3x^2+3x-4)\bigl)\bigl((3x^2-12x+11)\sqrt{2}+(x^3-3x^2+3x-4)\bigl)\)

数学星空

不知在Mathematcia 软件有什么简单的命令可以得到 \(x=\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}+\sqrt{a_6}\)的最小次数的有理系数方程？（好像MinimalPolynomial只对数值表示的式子有效）

chyanog

数学星空 发表于 2014-4-5 19:27
不知在Mathematcia 软件有什么简单的命令可以得到 \(x=\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}+\sqrt ...

Mathematica中似乎没有现成的命令，不过可以参考Fold的帮助里最后一个例子，自己实现的话可能要用Resultant、GroebnerBasis等，maple中则比较方便，先convert Root然后evala

sunwukong

1. 
   
2. RootReduce[1 + 2^(1/2) + 3^(1/3)]
   
3. 
   
4. 结果是
   
5. Root[50 - 60 #1 + 9 #1^2 - 2 #1^3 + 9 #1^4 - 6 #1^5 + #1^6 &, 2]
   

复制代码

sunwukong

1. MinimalPolynomial[1 + 2^(1/2) + 3^(1/3), x]

复制代码

结果是

1. 50 - 60 x + 9 x^2 - 2 x^3 + 9 x^4 - 6 x^5 + x^6

复制代码

gxqcn

我来给出一个笨方法，纯手工推导的：

令 \(x=1+\sqrt2+\sqrt[3]3\) 及 \(t=x-1\)，
则 \((t-\sqrt2)^3=3\)，
展开，将含无理系数项依到等式右边： \(t^3+6t-3=(3t^2+2)\sqrt2\)
再平方，展开得：\(t^6-6t^4-6t^3+12t^2-36t+1=0\)，
最后将 \(t=x-1\) 代入、化简，即得：\(x^6-6x^5+9x^4-2x^3+9x^2-60x+50=0\)

gxqcn

由2#，我们知道 \(x=1+\sqrt2+\sqrt[3]3\) 是以下方程的根：\begin{align}x^6-6x^5-3x^4+118x^3-387x^2+504x-226&=0\\x^6-6x^5+9x^4-\phantom{11}2x^3+\phantom{38}9x^2-\phantom{5}60x+\phantom{2}50&=0\end{align}
\([(2)-(1)]\div12\)，可得 \begin{equation}x^4-10x^3+33x^2-47x+23=0\end{equation}
请问：为什么 \(x=1+\sqrt2+\sqrt[3]3\) 却不是上述方程\((3)\)的根？谁能告诉我哪里出了问题？

chyanog

chyanog 发表于 2014-4-8 12:40
Mathematica中似乎没有现成的命令，不过可以参考Fold的帮助里最后一个例子，自己实现的话可能要用Resulta ...

Maple：
evala(Norm(convert(x- sqrt(a)-sqrt(b)-sqrt(c) ), RootOf)))
Mathematica：
Fold[Expand[(#/.x->x+#2)(#/.x->x-#2)]&,x,Sqrt@{a,b,c]
或
GroebnerBasis[{(x-a1-a2)^2-a,a1^2-b,a2^2-c},x,{a1,a2}]

葡萄糖

土法炼钢，为什么我炼出的是渣？
先令\(t=\sqrt2+\sqrt[3]3\)，则
\((t-\sqrt2)^3=3=t^3-\sqrt2(3t^2-6t+2)\)
\((t^3-3)^2=2(3t^2-6t+2)^2\)
整理得：\(t^6-18t^4+66t^3-96t^2+48t+1=0\)
令\(x=t+1，t=x-1\)，则
\((x-1)^6-18(x-1)^4+66(x-1)^3-96(x-1)^2+48(x-1)+1=0\)