斐波那契兔子问题的加强版

葡萄糖

有一雌兔，到a月可生育，每月生一只，所生均是一样的雌兔，到b月绝育，不再能生，c月死亡，问n月后有多少只兔？

倪举鹏

思路是a(n)为出生后不能生育的数量，b(n)为可以生育的数量，c(n)为绝育的数量。列递推方程组

sunwukong

（参考“屠龙刀的概率升级问题”http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=3911）

设\(k\)月时年龄为\(i\)月的兔子有 \(x_{k,i}\) 个 （\(1<=i<=c-1\)）
记\(x_{k,c}=x_{k,1}+x_{k,2}+x_{k,3}+…+x_{k,c-1}\)为\(k\)月时的兔子总数

那么
\(x_{1,1}=1\)，\(x_{1,2}=x_{1,3}=…=x_{1,c-1}=0\)，\(x_{1,c}=1\)

\(x_{k+1,1}=x_{k,a}+x_{k,a+1}+x_{k,a+2}+…+x_{k,b-1}\)
\(x_{k+1,2}=x_{k,1}\)
\(x_{k+1,3}=x_{k,2}\)
…
\(x_{k+1,c-1}=x_{k,c-2}\)
\(x_{k+1,c}=x_{k,a}+x_{k,a+1}+x_{k,a+2}+…+x_{k,b-1}-x_{k,c-1}+x_{k,c}\)

设矩阵\[A=[(0,0,0…,0,1,1,…,1,0,0,…,0,0),(1,0,0,…,0),(0,1,0,0,…,0),(0,0,1,0,…,0),…,(0,0,0,…,0,1,0,0),(0,0,0…,0,1,1,…,1,0,0,…,0,-1,1)]\]
其中，
\(A\)的第\(1\)行是：\(a-1\)个\(0\)，跟着\(b-a\)个\(1\),再跟着\(c-b+1\)个\(0\)，
\(A\)的第\(i\)行是：第\(i-1\)个分量为\(1\)，其余分量为\(0\)的行向量（\(2<=i<=c-1\)）
\(A\)的第\(c\)行是：前\(c-2\)个分量与第\(1\)行的前\(c-2\)个分量一致，后\(2\)个分量是\(-1\)，\(1\)
列向量
\(X_1=[(1,0,0…,0,1)]'\)
（头尾为\(1\)，其余为\(0\)）
则
\(X_n=A^{n-1}*X_1\)

\(X_n\)的最后一个分量就是第\(n\)月的兔子总数