为无限多个变量赋值

KeyTo9_Fans

有无限多个实数变量：……, $A[-3]$, $A[-2]$, $A[-1]$, $A[0]$, $A[1]$, $A[2]$, $A[3]$, ……

请为这些变量赋值，要求：

1、对于所有的$i=......,-3,-2,-1,0,1,2,3,......$，都要满足：

(1)$0\leq A[i]\leq 1$
(2)$A[i]\leq 2*A[i+1]$
(3)$A[i]\leq 2*A[i-1]$

2、$\sum_{i=-\infty}^{+\infty} A[i]=1$

在满足以上要求的前提下，$S=\sum_{i=-\infty}^{+\infty} (i^2*A[i])$的值越小越好。

问：如何赋值？$S$的最小值是多少？

mathe

这个很容易，首先显然对称，其次设\(a_i+a_{i+1}=s\),也就是固定其它项，只允许改变这两项，显然对于非负i得出\(a_i\)越大越好，所以我们要取边界条件\(a_i=2a_{i+1}\)

sheng_jianguo

按楼上mathe的想法，所要求的A(i)为：
....,1/24,1/12.1/6,1/3,1/6,1/12,1/24,.......

BeerRabbit

整数概率？方差（如果设定0是期望，也即mathe说的对称）最小？

hujunhua

mathe 发表于 2014-4-25 09:52
这个很容易，首先显然对称，其次设a_i+a_{i+1}=s,也就是固定其它项，只允许改变这两项，显然对于非负i得出a ...

高中同学毕业10周年聚会，不知怎么说起来的，我那老同桌说“高中时最受伤的就是老听你说“这题很容易”，每次问你题，开头就是这句话，从来不考虑我的感受。”
当时差点没把我愧死，不仅仅为自己高中时少不更事，更为自己一直以来懵懂无知。我觉得自那次聚会后，我对人情世故才开始发萌。
同学聚会时的很多事都忘了，唯独这件事，铭刻在心，给我自省。

gxqcn

天才少年多孤独。
因为你的智商和旁人不在一个层面上的，感受就不一样。

wayne

是啊，要是放在mathe和hujunhua说这话，我表示自愧弗如， 要是搁星空老兄说这话，说“这题很容易”， 我立马心里面咯噔一下，然后追问，你凭啥说很容易了，

mathe

hujunhua 发表于 2014-4-25 15:05
高中同学毕业10周年聚会，不知怎么说起来的，我那老同桌说“高中时最受伤的就是老听你说“这题很容易”， ...

我的意思是Fans提出过很多非常有质量的问题，所以这道题目就显得太一般了,不过显然我不太会表达

dianyancao

从A[0]开始按公比为2的等比级数单调递减，A[0]两侧对称，得到如下结果：
\[A[0]+2\sum _{i=1}^{n} 2^{-i}A[0]=A[0]( 2^{1-n} \left(2^n-1\right)+1)=1 \\
A[0]=\frac{2^n}{3\*2^n-2} \\
\lim_{n\to\infty}A[0]\to \frac{1}{3} \\
S=0\*A[0]+2 \sum _{i=1}^n A[0] 2^{-i}\* i^2=A[0] 2^{1-n} \left(-n^2-4 n+3\* 2^{n+1}-6\right) \\
\lim_{A[0]\to \frac{1}{3},n \to \infty}S \to 4\]