三次射影曲线简介

hujunhua

引子

        以前曾试图在mathe的《射影曲线简介》下跟帖介绍三次曲线的射影研究方法和一些结果，遗憾的是出了一点误操作，没有完成。现打算再次拾起。
      
        射影变换等价于非奇线性变换，所以保持 n 次代数曲线的次数不变，故不仅直线、二次曲线属于射影几何，而且三次曲线、四次曲线以及更高的 n 次曲线都属于射影几何。二次曲线的研究曾经辉煌了射影几何，研究方法分为综合法和代数法，以及两者的结合。用代数方法研究二次射影曲线的核心是用一个对称矩阵来表示二次曲线，矩阵和向量表示法使代数方法得以驭繁于简，易写可读。作为这种表示法的高阶次推广，可以用一个 n 阶张量来表示 n 次代数曲线，但这样的文献却很少，所以我一边搜集，一边尝试，形成了一些札记。这次关于三次射影曲线的介绍，主要就是这些札记的整理（目的之一）。所以以下的内容都非祭“狂取C+狂取V”所得，全是自己一字一符地码上来的。
        
        在写帖过程中，为了防止误操作或者网页错误之类的情况，我可能写个五、六行就保存一下，如果现在就开放可见的话，时不时会看到半截帖子，不太合适。所以专开一帖，先设成唯自己可见，边写边改，待编辑完善了再开放阅读权限。

主要内容：

一、三次曲线的张量表示
二、直线与三次曲线的位置关系
三、三次曲线上的特殊点
四、三次曲线的射影分类
五、。。。。。。。

hujunhua

　　一般三次曲线的齐次方程\(\displaystyle\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3 a_{ijk}x_ix_jx_k=0\)按爱因斯坦求和约定省略求和符号后简记为\(a_{ijk}x_ix_jx_k=0\). 如果不作特别说明，以下\(a_ix_i\)这样的式子皆为爱因斯坦求和\(a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3\)。与用一个对称矩阵\(A=\{a_{ij}\}\)表示二次曲线\(a_{ij}x_ix_j=0\)（爱因斯坦求和，以下不再注明）相仿, 可以用一个对称三维张量\(A=\{a_{ijk}\}\)来表示上述三次曲线。所谓对称，意指\(a_{ijk}=a_{(ijk)_s}\),这里\((ijk)_s\) 指下标\(ijk\)的任一其它排列。
　　二次曲线方程左边的\(a_{ij}x_ix_j\)可用矩阵简明地表示为 \(x'Ax\)，以下我们将\(a_{ij}x_iy_j\)或者\(x'Ay\)的结果更简单地表为\(A_{xy}\)或者\(A_{yx}\). 这是一个纯量，由于\(A\)的对称性，\(A_{xy}=A_{yx}\),  即下标顺序不是该表示方式的要素。
　　相仿地，在三次曲线研究中，我们将
　　　　\(a_{ijk}x_iy_jz_k\)记为\(A_{xyz}\),这是一个纯量，下标顺序无关紧要。
　　　　\(a_{ijk}x_iy_j\)记为\(A_{xy}\). 这是一个向量，因下标 \(k\) 为自由标。(当然，这个也可以用矩阵方式表为\(x'Ay\)).
　　　　\(a_{ijk}x_i\)记为\(A_x\). 这是一个矩阵，因下标 \(j,k\) 为自由标。(当然，这个也可以用矩阵方式表为\(Ax\)).
　　这种记法是为了尽量避免在下文中使用爱因斯坦求和。虽然爱因斯坦求和约定对于张量运算的推演是一个很好的工具，但是毕竟包含了下标，不如向量和矩阵的整体运算来得简明。对于爱因斯坦求和约定不熟悉的读者，读那种带一大堆下标的表达式很容易头大，相对而言，向量和矩阵的符号演算过程的可读性更好。
　　\(A_{xy}\)这样的写法忽视了行向量与列向量的区别，隐藏了左乘与右乘规则。因为三阶张量中除了行向量和列向量，还多了一个垂向量（垂直于纸面），所以要保留向量方向和左乘右乘这样的直观写法，还须多一个方位，比如上乘，将\(A_{xxx}\)写作\[\begin{matrix}\ \ \ x''\\{ x' A x}\end{matrix}\](\(x''\)表垂向量)，这个不仅写起来太麻烦，而且连乘并不能写成线性串，结果无法应用直观乘法规则，所以还是免了吧。
　　张量相乘时，维数变化的缩合规则为\[O(AB)=O(A)+O(B)-2\]　　当\(O(A)=2\), 即\(A\)为一个矩阵时，可得 \(O(AB)=O(B)\)，这正是射影变换保持代数曲线次数不变的体现。
　　当\(O(B)=1\), 即\(B\)为一个向量时，可得 \(O(AB)=O(A)-1\)，即乘以一个向量总是令张量降 \(1\) 维。

对于本帖来说，重要缩合实例包括：
　　\(A_{3\times3\times3}B_{3\times3}=C_{3\times3\times3}\),即一个三维张量与一个矩阵相乘仍然得到一个\(3\)维张量，这是三次曲线射影不变性（次数保持为\(3\)）的表现。
　　\(A_{3\times3\times3}B_3=C_{3\times3}\),即一个三维张量乘以一个向量得到一个二维张量，即矩阵。
　　\(A_{1\times3}B_{3\times1}=C_{1\times1}\),此即我们熟悉的向量内积。

hujunhua

2.1、直线与三阶曲线的交点方程
        
　　在直线 \(l\) 上任取两个不同点\(p,q\), 将 \(l\) 上的点\(x\)表为参数形式\(p+\lambda q\)（参数 \(\lambda=0,\infty\)分别对应于点 \(p, q\)）. 代入三次曲线的方程\(A_{xxx}=0\)即得直线与三次曲线的交点的参数方程\[\begin{equation}A_{qqq}\lambda^3+3A_{qqp}\lambda^2+3A_{qpp}\lambda+A_{ppp}=0\end{equation}\]当直线与三次曲线仅有有限个交点时，我们总可以取得不在三次曲线\(A\)上的点 \(q\) 保证上述方程为\(3\)次方程，从而保证方程至少有一个实根, 这表明任意直线与三次曲线至少有\(1\)个实交点。所以我们不妨假定\(p\in A\)。 以后如果不作即时说明，\(A\)皆指一条三次曲线，\(p\)皆指\(A\)上一点。
\(p\in A\) 即 \(A_{ppp}=0\),代入方程\((1)\)得\[\begin{equation}\lambda(A_{qqq}\lambda^2+3A_{qqp}\lambda+3A_{qpp})=0\end{equation}\]方程的一个零根对应于\(p\in A\)。

2.2、 割线定理

　　由方程\((1)\)可知，直线\( l\) 与三次曲线一般有三个交点，如果这三个交点都不相同，\(l\) 就称为曲线的割线。假定三个交点分别为 \(p, q, r\),那么\[\begin{equation}r=A_{pqq}\cdot p-A_{ppq}\cdot q\end{equation}\]\[\begin{equation}A_{pqr}=0\end{equation}\]过`A`上的点`p,q`的割线的线坐标`l_{pq}`为\[\begin{equation}l_{pq}=A_{qqp}^2A_{pp}-A_{qqp}A_{ppq}A_{pq}+A_{ppq}^2A_{qq}\end{equation}\]令方程式\((2)\)中的\(A_{qqq}=0\) 解得参数\(\lambda=-\frac{A_{qpp}}{A_{qqp}}\) 即可得到公式\((3)\), 将公式\((3)\)代入\((4)\)立证其真.

　　推论：整系数三次曲线的两个有理点所在的割线与曲线的第\(3\)个交点仍为有理点。
　　这个不起眼的推论几乎是三次曲线的全部价值所在，因为正是它成就了椭圆曲线理论。但是本介绍不打算更多地涉及椭圆曲线理论，因为可得到的文献可谓汗牛充栋。简单地说，`(4)`式`A_{pqr}=0`在椭圆曲线论中被写为一种加法形式`p\oplus q\oplus r=0`，这个`\oplus`显然是满足交换律的，以后我们将用张量符号的形式证明`\oplus`满足结合律.
      容易验证`l_{pq}\cdot p=0,l_{pq}\cdot q=0`, 故`l_{pq}`为经过点`p`和`q`的割线的线坐标。

hujunhua

2.3、三次曲线的切线和配极对应

　　回顾前面的张量乘法缩合公式可知，对于射影平面上的任意点 \(x\), \(A_x\)是一个对称矩阵，\(A_{xx}\)是一个向量，它们分别称为点 \(x\) 关于三次曲线 \(A\) 的配极二次曲线和配极直线（极线）。
      配极原则：`x`在 `y` 的配极直线上，那么 `y` 在 `x` 的配级二次曲线上。因为 `A_{xyy}=0`可同时化为`x'A_{yy}=0`和`y'A_xy=0`。
        
2.3.1　切线

　　三次曲线 \(A\) 在点 \(p\) 处的切线正是配极直线\(A_{pp}\)。当然，前提是配极直线存在, 即\(A_{pp}\ne0\).
　　取\(q\in A_{pp}\), 将\(A_{ppq}=0\)代入方程 \((2)\) 得\[\begin{equation}\lambda^2(A_{qqq}\lambda+3A_{pqq})=0\end{equation}\]方程有二重零根，表明 \(p\) 是\(A_{pp}\)与 \(A\) 的切点，所以\(A_{pp}\)即切线。
      剩下的非零根`\D\lambda=-3\frac{A_{pqq}}{A_{qqq}}`对应于切线`A_{pp}`与`A`的另一交点`r`,\[r(p)=A_{qqq}p-3A_{pqq}q\]只要`q`满足`A_{ppq}=0`，即只要 `q` 在切线`A_{pp}`, 上式的结果与 `q`无关。 `r(p)`点亦可从方程组\[A_{xxx}=0,A_{ppx}=0\]解得。或由割线交点公式取极限得\[r=\lim_{q\in A,q\to p}\frac{A_{ppq}q-A_{pqq}p}{A_{ppq}-A_{pqq}}\]        `r(p)`称为`p`对应的切割点，`A_{pp}`则称为`r`的一条外切线。

2.3.2　调和共轭曲线

　　三次曲线 \(A\) 在其上点 \(p\) 处的配极二次曲线称为 \(A\) 在其上点 \(p\) 处的调和共轭曲线。\(A_p\)的 4 条基本性质：
　　　　1)　\(p\in A_p\)，因为\(p'A_pp=A_{ppp}=0\)
　　　　2)　\(A_p\)在 \(p\) 处的切线为 \(A_pp=A_{pp}\), 即\(A_p\)与\(A\)在\(p\)处相切，有公切线\(A_{pp}\)
　　　　3)　如果过 \(p\) 点的直线交 \(A\) 于另外两点\(q,r\), 交\(A_p\)于另一点\(s\), 那么\(q,r,p,s\)为调和共轭点组，即\((qr,ps)=-1\)。
　　　　4)　如果三次曲线上存在奇异点（\(A_{pp}=0\)的点，见下节），那么所有的配极二次曲线都过奇异点。
　　性质3)的证明： 以\(p,q\)为已知点，令\(\displaystyle\lambda=-\frac{A_{ppq}}{A_{pqq}}\)由割线定理可得\(r=p+\lambda q\).
                              设\(s=p+\lambda'q\), 则交比\((pq,rs)=\frac{\lambda}{\lambda'}\), 下面证明\(\lambda'=2\lambda\), 从而交比\((qr,ps)=-1\)。
                              将\(s=p+\lambda'q\),代入\(A_{pss}=0\)得\[\begin{equation}A_{pqq}\lambda'^2+2A_{ppq}\lambda'+A_{ppp}=0\end{equation}\]因\(A_{ppp}=0\), 方程化为\[\begin{equation}\lambda'(A_{pqq}\lambda'+2A_{ppq})=0\end{equation}\]除去零根（对应于\(p\)）, 得\(\lambda'=2\lambda\).
　　性质3)是可以作为调和共轭曲线的射影定义：记过\(p\)的一条动直线与\(A\)的其它两个交点为\(q,r\), 而\(s\) 是\(p\)关于点对\(q,r\)的调和共扼点，那么\(s\)的轨迹称为\(A\)关于其上点\(p\)的调和共轭曲线。

hujunhua

3.0  三次曲线的特征曲线
　　如果配极二次曲线\(A_x\)是退化的，即\(|A_x|=0\), 这将是点 \(x\) 的射影不变性质，于是 \(x\) 必是射影平面上相对于三次曲线 \(A\)处于特殊位置的点。所有这样特殊位置的点满足方程
\[\begin{equation}\abs{A_x}=0\end{equation}\]这个方程显然也对应于一条三次射影曲线，称为 `A` 的特征曲线。
      
　　调和共轭曲线\(A_p\)是退化的，即\(|A_p|=0\), 这将是点 \(p\) 的射影不变性质，于是 \(p\) 必是三次曲线 \(A\) 的特殊点。我们知道非退化二次曲线上是没有特殊点的，所以存在特殊点是三次曲线出现的一个新特性。所有的非退化二次曲线是彼此同构的，不存在分类问题，而非退化的三次曲线则由于特殊点的不同，可能不能相互映射，从而存在分类问题, 特殊点成为分类的依据。所以这些特殊点称为三次曲线的特征。
　　特别地，使得\(A_{pp}=0\)也将是 \(p\) 点的射影不变性质，这样的点包含在上述特征中，但与其中\(A_{pp}\ne0\)的点不同类。

3.1　特征点所满足的方程\[\begin{equation}\left\{\begin{split}\abs{A_x}&=0\\A_{xxx}&=0\end{split}\right.\end{equation}\]特征点又可分为两类：
　　1.1　满足\(A_{pp}=0\)的点 p 称为奇点。命名的原因之一在于\(p\)是\(A_p\)的奇点。
　　1.2　满足\(A_{pp}\ne0\)的点 p 称为拐点。
      命名的原因见下面的分析。

3.2　奇点
      对于奇点\(p\), 由于\(A_{pp}=0\), 故对于平面上的任意其它点\(q\), 都有\(A_{ppq}=0\)，代入方程(2)亦得到方程(6). 可见过奇点的任意直线与三次曲线 A另外最多只有一个交点，奇点至少是二重交点。这表明奇点是三次曲线A的二重点，即A与A的自交点。这就是奇点命名的理由。依据\(A_{p}\)的退化类型，奇点（自交点）包括以下3种：
　　3.2.1　自交叉点，\(A_p\)退化为两条相交于\(p\)的实直线，即\(A\)在P点有两条不同的实切线。例如图3.2.1，原点为奇点，两坐标轴为在原点的切线。
　　3.2.2　孤立点（离点），\(A_p\)退化为两条相交于\(p\)的虚直线，即\(A\)在P点有两条不同的虚切线。例如图3.2.2，原点为孤立型奇点.
　　3.2.3　尖点（自相切），\(A_p\)退化为两条重合直线，即\(A\)在\(p\)点处自相切，有两条重合的切线。例如图3.2.3，原点为尖点型奇点.

图3.2.1自交点

图3.2.2孤立点

图3.2.3尖点

      
3.3　奇点的性质
　　3.3.1　过奇点的任意直线与 \(A\) 最多只有一个交点，因为奇点是二重点。
　　3.3.2　任意点关于 \(A\) 的配极二次曲线都过 \(A\) 的奇点。
　　　　　　因为对任意配极二次曲线\(A_x\), \(p'A_xp=x'A_{pp}=0\)。
　　3.3.3　如果 \(p, q\) 都是 \(A\) 的奇点，那么方程(2)中的所有系数都是0，即连线\(pq\subset A\), 因而 \(A\) 是退化的。
　　　　　　推论：非奇三次曲线最多只有一个奇点。

3.4　拐点及其伴点、拐切线及其伴线
      
　　\(p\) 是拐点，那么\(A_p\)退化的，又\(A_{pp}\)是\(A_p\)的切线，所以\(A_{pp}\in A_p\)。
      对于拐点\(p\), 退化的\(A_p\)本是两条直线，现在已得到其中一支\(A_{pp}\), 那么另一支是什么呢？不管它是什么，且称之为拐切线的伴线，又称为拐点的外极线。顾`A_p`共轭之名而思其义，知过`p`的直线与A的另外两交点`q,r`及与外极线的交点`s`, 满足交比`(ps,qr)=-1`.
      由于\(p\)不是\(A_p\)的奇点，\(A_p\)必定另有奇点\(p'\), 我们称它为拐点\(p\)的伴点。伴点具有以下基本性质：\[A_{pp'}=0\] 可见`p'`属于`A`的特征曲线。
      如果三次曲线A有奇点，那么奇点是属于\(A_p\)，但是不属于\(A_{pp}\)（拐切线与A另无交点），所以连结奇点与伴点的直线即是那条伴线。
      对于没有奇点的三次曲线，考虑过`p`作`A`的一条外切线`A_{qq}`, `q`为切点。`p\in A_{qq}`, 由配极原则知 `q\in A_p`。故连接`q`和伴点`p'`所得的直线即拐切线`A_{pp}`的伴线。
      推论：由一个拐点`p`向`A`作外切线如果有两条以上，则各切点都在伴线上。

3.5  拐点的有关性质

      3.5.1 拐点基本性质   拐点是拐切线与三次曲线的三重交点，拐切线与三次曲线除了拐点外没有其它交点。

        证明：拐点\(p\)的伴点\(p'\)是属于\(A_{pp}\)的, 它是拐切线\(A_{pp}\)与其伴线的交点。所以拐切线上的任一点可以写成参数形式\(p+\lambda p'\).
        将\(x=p+\lambda p'\)代入\(A_{xxx}=0\)将得到方程 (1)（将其中的\(q\)置换为\(p'\) ）, 其中除了\(A_{p'p'p'}\), 其它各项系数皆0，所以方程简化为\[A_{p'p'p'}\lambda^3=0\]方程仅有三重零根，表明\(p\)是拐切线与A的三重交点，拐切线与A另无交点。

      3.5.2  三次曲线的拐点与外极线引导的调和共轭变换保持三次曲线不变。

        （注：由给定点 \(p\) 与给定直线 \(l\) 引导的调和共轭变换如下：对任意点\(x\), 连结直线\(xp\)与给定直线 \(l\)的交点记为 \(q\), 在\(xp\)上取\(x\)关于基点对\(p,q\)的调和共轭点\(y\), 映射\(x\to y\)决定的射影变换即是。）
        调和共轭变换是一个对合，由三次曲线的关于其上给定点的调和共轭曲线的定义即可得到性质定理3.5.2.
        推论1：三次曲线总可以通过射影变换成为中心对称曲线，对称中心为它的一个拐点。只要将该拐点的伴线射影为无穷远线即可。
        推论2：三次曲线总可以通过射影变换成为镜像对称曲线，只要将一个拐点射成无穷远点，并使相应的拐切线和伴线相垂直。伴线即成为对称轴。
        推论3： \(p,q\) 如果都是 \(A\) 的拐点，那么 \(p,q\) 所在割线的第3个交点\(r\)也是拐点。因为\(p\)可以射成曲线的自对称中心，从而\(r\)与\(q\)为关于中心\(p\)对称点。或者如推论2那样射成镜像对称曲线，从而\(r,s\)成为一对镜像对称点。
推论3与2.2割线定理的关于三有理点的推论极为相似。

        推论1和推论2成立的前提是：三次曲线至少有一个实拐点。这是肯定的。
        对于非退化的三次曲线，方程(9)一般有9个复根，可能是9个拐点、0个奇点，或者 7个拐点、1个奇点（二重点），拐点中复拐点总是共轭成对的，而拐点总数为奇数（7或9），所以至少有一个实拐点。

3.6  奇点与对称

        由3.5.2的推论1可知，如果三次曲线为中心对称曲线，则它的奇点（如有）必为无穷远点。由于无穷远点关于任意有穷远点都是自对称的，故奇点仍然只有一个。
        由3.5.2的推论2可知，如果三次曲线为轴对称曲线，则它的奇点（如有）必在对称轴上。事实上由于奇点最多只有一个，它也只能在对称轴上。
      

hujunhua

4.1  退化三次曲线的分类

4.1.1  退化为三条直线
4.1.1.1三条实直线
    a)三条共点实直线
    b)三条不共点实直线（三角形的三条边）
    c)三条重合实直线
    d)一条直线和两条重合直线
4.1.1.2 一条实直线，两条共轭虚直线
     e)三线不共点，可见的是一实直线加一离点。
     f)三线共点，可见的是一实直线和直线上一点
4.1.2   退化为一条直线和一条非退化的二次曲线
     直线与二次曲线的三种位置关系，每种一类。

      退化曲线的射影分类只此9类，没有更多或更细的分类了。

4.2 非退化三次曲线的分类

4.2.1  无奇点类
     a)拐点 1 实 8 虚
     b)拐点 3 实 6 虚
4.2.2 有奇点类
    c)拐点 1 实 6 虚
    d)拐点 3 实 4 虚

      非退化类还有更细的分类，有待于进一步搜集和研究。

   

mathe

hujunhua上面给出了三次曲线很多非常重要的性质，下面我来讨论一下椭圆曲线群。
椭圆曲线就是指非退化的没有奇点的三次曲线。
我们知道，每条直线和椭圆曲线都正好有三个交点（切点通常看成两重交点，而拐点看成三重交点），
对于任意一条直线和椭圆曲线的三个交点A,B,C，定义椭圆曲线上的“加法”为A+B+C=0 (或者A+B=-C)
这个运算显然满足加法交换率。而我们假设0对应的点为O,那么过O做椭圆曲线的切线交于另外一个点O',
那么必然有O+O+O'=0,也就是O'=O。由此我们知道为了时这个“加法”符合要求，0对应的点必须是拐点。
而过O点的任意直线交椭圆曲线于P,Q两点，那么必然有P+Q=0,或者说P=-Q.
此外，我们需要保证这种运算是封闭的，比如3#中推论给出有理数域上的椭圆曲线上这种运算是封闭的，实际上，对于任意数域，这种运算都是封闭的。
我们知道通常定义的加法是满足结合律的，而椭圆曲线群之所以能够成为群，也正是因为这种定义竟然非常神奇的能够满足结合律。
定理:给定一条三次曲线C(可以是含奇点的），如果直线$l_1,l_2,l_3$和$m_1,m_2,m_3$两辆相交，其中$l_i,m_j$的交点为$A_{i,j}$
如果这9个点除了$A_{3,3}$以外都在曲线C上，那么$A_{3,3}$也在曲线C上。
证明这个定理有点复杂，我们可以换一个角度来理解这个定理。
我们可以把方程$l_1*l_2*l_3=0$看成一条退化三次曲线，$m_1*m_2*m_3=0$看成另外一条三次曲线
于是对于任意实数$\alpha,\beta$,曲线$\alpha*l_1*l_2*l_3+\beta*m_1*m_2*m_3=0$都是三次曲线(它们构成一族三次曲线系)，
而且这整个三次曲线系都会经过所有9个点$A_{i,j}$。
现在我们查看2#三次曲线方程$a_{ijk}x_ix_jx_k=0$,合并同类项后其中系数是10个($x_1^3,x_2^3,x_3^3,x_1^2x_2,x_1^2x_3,x_2^2x_1,x_2^2x_3,x_3^2x_1,x_3^2x_2,x_1x_2x_3$)
由于每个系数都成上一个常数后还是同一条曲线，所以实际上只有9个独立的系数，所以如果为了确定一条三次曲线，我们通常只需要9个点就可以唯一确定了。
但是三面三次曲线系中我们得出过9个点$A_{i,j}$的三次曲线有无穷条，其原因就是这9个点的位置有点特殊，只要3次曲线过了前8个点，必然过第9个点，
为了唯一确定一条三次曲线，第9个点需要更换一个位置才行。
而利用这个定理，我们就可以非常容易的证明椭圆曲线群上的加法结合律。
我们只要查看直线{A,B,-(A+B)},{C,A+B,-(A+B+C)}, {-(B+C),O,B+C}; {B,C,-(B+C)}, {A,B+C,-(A+B+C)}, {-(A+B),A+B,O}的关系即可。

mathe

而任意一条非退化三次方程，我们可以通过射影变换将它变化为Weierstrass形式$y^2=x^3+px+q$,这个表达形式的一个好处是这条曲线上有一个无穷远点在y轴的无穷远点，而且这个点是拐点。于是我们就可以将对应椭圆曲线群的0元取成这个无穷远点$\infty$。于是对于这个椭圆曲线上任意一个点P，我们做一条平行y轴的直线（过y轴无穷远点的几何意义），那么可以交到椭圆曲线上另外一个点Q,于是Q=-P.特别的，对于椭圆曲线和x轴的交点P,我们有P=-P,或者$2P=P+P=\infty$.所以Weierstrass形式的椭圆曲线上二重点的横坐标正好对应方程$x^3+px+q=0$的根。
另外，在特征为2或3的有限域中，射影变换只能将三次方程变化为$y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6$,这种形式我们称为Generalized Weierstrass形式.
很显然，如果域的特征不是2，也就是存在除2运算，我们非常容易通过变换将$a_1,a_3$都变换为0,而特征不是3时，也就是存在除3运算，可以将$a_2$变换为0。

在Pari/Gp软件中，函数ellinit可以用来初始化一条椭圆曲线，其中输入参数可以是$[a_1,a_2,a_3,a_4,a_6]$或$[a_4,a_6]$,其中原因就是如此。
(10:05) gp > ?ellinit
ellinit(x,{D=1}): let x be a vector [a1,a2,a3,a4,a6], or [a4,a6] if
a1=a2=a3=0, defining the curve Y^2 + a1.XY + a3.Y = X^3 + a2.X^2 + a4.X + a6;
x can also be a string, in which case the curve with matching name is
retrieved from the elldata database, if available. This function initializes
an elliptic curve over the domain D (inferred from coefficients if omitted).

mathe

现在我们可以测试一下用Pari/Gp做一下简单的椭圆曲线上的运算。
比如我们可以构造曲线$y^2=x^3+3$(显然这条曲线上有点x=1,y=2)
由此
(10:05) gp > E=ellinit([0,3]);
(10:09) gp > elladd(E,[1,2],[1,2])
%2 = [-23/16, -11/64]
由此通过椭圆曲线加法运算[1,2]+[1,2]，我们得到曲线上另外一个不容易看出的有理解[-23/16,-11/64]

mathe

前面我们讨论过椭圆曲线群存在需要要求曲线上没有奇点，那么对于Weierstrass形式，曲线没有奇点的充分必要条件就是方程$x^3+px+q=0$没有重根，或者说这个三次方程的根的判别式$4p^3+27q^2 != 0$,
另外对于这个方程我们可以通过变换$y'=u^3y,x'=u^2x'$变换成一条类似的方程，所以两者实际上是等价的，为此，还定义了曲线的j-invariant=$1728\frac{4p^3}{4p^3+27q^2}$