证明圆内接四边形的一个定理

zuijianqiugen

参见：http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 622014214113658604/
（1）已知四条边a、b、c、d可构成两种不同的圆内接四边形：圆内接凸四边形、圆内接蝴蝶四边形
（2）圆内接凸四边形的面积，用S₁表示；圆内接蝴蝶四边形的对顶三角形面积差，用S₂表示
（3）一个定理：
                       (S₁)²-(S₂)²=abcd

数学星空

若边长依次为\(a,b,c,d\)四条边可以构成凸四边形及碟形四边形内接于圆,注\(A'\)是\(A\)关于\(BD\)的对称点

我们可以得到图中\(\angle A=\angle A'=\frac{\pi}{2}\)(内接四边的对角和为\(2\pi\),且同一弧对应的角相等）

则我们得到\(BD\)为圆的直径，且\(S_1=S_{ABCD}=\frac{ad+bc}{2}\),  \( S_2=|S_{A'BD}-S_{BCD}|=|\frac{ad-bc}{2}|\)

\(S_1^2-S_2^2=abcd\)

zuijianqiugen

数学星空 发表于 2014-5-5 20:11
若边长依次为\(a,b,c,d\)四条边可以构成凸四边形及碟形四边形内接于圆,注\(A'\)是\(A\)关于\(BD\)的对称点 ...

首先，感谢数学星空的漂亮解答，特表支持；
其次，你的解答是一种特殊情况：a²+d²=b²+c²
当a²+d²≠b²+c²时，两种四边形的外接圆不是同一个圆。

zuijianqiugen

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