三次曲线的超密切圆，至少有一个么？

hujunhua

p点是三次曲线A上一点，在p点附近任取4点，加上p, 5点可以决定一条二次曲线，当这4点都无穷逼近点 p 时，得到一条极限二次曲线，这就是A在 p 处的密切二次曲线。
密切不是吹的，切点可是个5重点啊，度量几何里的密切圆（切点为三重点）与之相比是不是弱暴了？

度量几何说：也不尽然，偶也有个把超密切圆嘀！密切二次曲线不是射影不变的么，把它射影为一个圆，不就是个超密切圆了。               
射影几何反问道：你随便一个非退化的三次曲线，都有亲戚射给它一个超密切圆吗？
度娘大惊：不知道啊，谁来救我呀！

hujunhua

过原点的椭圆曲线\(y^2=\frac12x^3-x^2+2x\)在原点的密切二次曲线是一个圆，因此是一个超密切圆。

由于对称性，这个密切圆与三次曲线的第6个交点也在原点，故原点是一个 6 重切点。比5更多1.
求在原点的密切二次曲线时，让\(x\rightarrow0\), 直接将方程右边的高阶无穷小量\(x^3\)项略去得 \(y^2=-x^2+2x\) 就是。

hujunhua

一般的三次曲线\(F(x,y)=0\)在\((x_0,y_0)\)处的密切二次曲线方程为
\(F(x，y)-F(x-x_0,y-y_0)=0\)

mathe

由于密切二次曲线方程为\(x'A_px-x'A_{pp}=0\), `p`在曲线上。如果这个曲线是圆，说明其`xy`的系数为0，还有$x^2$和$y^2$的系数相等，得出`p`除了满足三次曲线方程还得满足两个方程，通常应该无解

hujunhua

哈哈，密切果然不是吹的，超密切圆，那不是随便就能有的。

但超密切圆并不因此显得有多珍贵。关于密切二次曲线，真正令我们感兴趣的不是它何时能成为超密切圆，而是它与三次曲线的不同于切点的那个交点。
二次曲线与三次曲线一般有6个交点，密切二次曲线因为切点为5重点，恰好剩下一个交点，所以\(切点\rightarrow交点\)是一个单射。
这个映射将三次曲线映射到自身，是三次曲线上的点列的一个变换，我们感兴趣是这是一个什么样的变换。
从方程\[A_{ppq}=A_{pqq}\]来看，这显然是一个对合，即A 在点 p 的密切二次曲线与 A 交于第6点  q, 则 A 在点 q 的密切二次曲线反过来与 A 交于 p.

既是对合，当有不动点。不动点都是6重切点。
当 p 位于 A 的对称轴上，或者为 A 的对称中心时，p 必是对合的不动点。故奇点和拐点都是不动点。
当 A 无奇点时， 拐点 p 的伴线与曲线交点也是对合的不动点。2楼的即是此类例子。