关于三次方程的有理根问题

zuijianqiugen

证明：当a、b为正整数时，三次方程x³=3ab(2x+a+b)不存在有理根。

mathe

容易看出有理根为整数根，故可以将问题归结为丢番图方程
\(x^3=3yz(2x+y+z)\)

由于方程为齐次式，可以假定 \(\gcd(x,y,z)=1\).

mathe

然后y的任意一个素因子p必然也是x的素因子但是不是z的，得出y，z除因子3素因子次数都是3的倍数

mathe

前面分析应该很难解决
这个是椭圆曲线，
\((\frac{x}{b})^3=6\frac{a}{b}\frac{x}{b}+3(\frac{a}{b})^2+3\frac{a}{b}\)
让\(X=3\frac{x}{b},Y=9\frac{a}{b}\)
得出\(X^3=6XY+Y^2+9Y\)其Torsion子群只有三个元(0,0),(0,-9),和无穷远点。所以相当于需要证明这条椭圆曲线只有这三个有理点。

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-5-7 12:49
前面分析应该很难解决
这个是椭圆曲线，
\((\frac{x}{b})^3=6\frac{a}{b}\frac{x}{b}+3(\frac{a}{b})^2+3 ...

（1）在细心审查中，发现自己的证法有一个小小的逻辑错误，看来是泡汤了
（2）mathe版主对此题联想到椭圆曲线，看来此题太复杂了。

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-5-7 12:49
前面分析应该很难解决
这个是椭圆曲线，
\((\frac{x}{b})^3=6\frac{a}{b}\frac{x}{b}+3(\frac{a}{b})^2+3 ...

寄予mathe版主以厚望，看能否证明这条椭圆曲线只有这三个有理点？

mathe

椭圆曲线的有理解群的计算并没有固定的方法，对于本题，我们可以继续替换
$U=4(X+3),V=8Y+24X+36$
得到曲线
$V^2=U^3-432$
通过链接http://www.staff.science.uu.nl/~ ... computerclass.shtml
可以看出这个同$x^3+y^3=z^3$问题等价

mathe

对于丢番图方程$x^3+y^3-z^3=0$
我们可以设$x/z=(36+V)/(6U),y/z=(36-V)/(6U)$
代入简化就可以得到$V^2=U^3-432$
由此问题就简化到$x^3+y^3-z^3=0$的整数解问题，它只能x,y,z中存在一个0
对应U=0或V=36或V=-36

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-5-7 14:34
对于丢番图方程$x^3+y^3-z^3=0$
我们可以设$x/z=(36+V)/(6U),y/z=(36-V)/(6U)$
代入简化就可以得到$V^2=U ...

（1）看来此题与n=3的费马定理等价；
（2）n=4的费马定理之代数证明已得之。参见：http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 062201301822320741/
（3）问题在于是否有n=3的费马定理之代数证明？