积分求解

shower

\[\int _{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (\text{$\pi $x})}{\text{$\pi $x}}\frac{\sin (2\text{$\pi $x})}{2\text{$\pi $x}}dx=\frac{1}{2}\]
怎么手动求解

mathe

我们可以利用公式\(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx=\pi\)，于是\(\int_{-R}^R\frac{1-\cos(x)}{x^2}dx=-\frac{1-\cos(x)}{x}|_{-R}^R+\int_{-R}^R\frac{\sin(x)}{x}dx\)，由此得出
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^2}dx=\pi\]
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1-\cos(3x)}{x^2}dx=3\pi\]
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos(x)-\cos(3x)}{x^2}dx=2\pi\]
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(x)\sin(2x)}{x^2}dx=\pi\]

zuijianqiugen

mathe 发表于 2014-5-15 21:45
我们可以利用公式\(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx=\pi\)，于是\(\int_{-R}^R\frac{1-\cos(x ...

mathe版主，您好！
（1）定积分：f(k)=∫(0,∞)[(thx)^2k/x²]dx（th为双曲正切）
（2）当k为不同的正整数时，f(k)存在代数关系否？

shower

mathe 发表于 2014-5-15 21:45
我们可以利用公式\(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx=\pi\)，于是\(\int_{-R}^R\frac{1-\cos(x ...

谢谢，分部积分那里的变形真美妙

cn8888

$\int {\frac{{Sin(Pi*x)}}{{Pi*x}}*\frac{{Sin(2*Pi*x)}}{{2*Pi*x}}} dx$

的积分表达式是：
$ - \frac{{2Sin[\pi x]Sin[2\pi x] + \pi xSinIntegral[\pi x] - 3\pi xSinIntegral[3\pi x]}}{{4{\pi ^2}x}}$