曲线弧长等于曲线下与x轴所围的面积的曲线

葡萄糖

曲线弧长等于曲线下与x轴所围的面积的曲线是什么？
能用显式表达弧长的曲线除了直线和圆以外还有悬链线、摆线、等角螺线、抛物线、半立方抛物线等等。椭圆的弧长无法用显式计算，数学家们因此发展出椭圆积分和椭圆函数。

kastin

这个问题应该可以更好地改进一下。因为”与x轴围成的面积“这种问法就决定了曲线的位置会影响到面积，然而曲线本身所属的类别与其在坐标系中的位置是无关的。比如二次曲线无论如何平移旋转，都不会变成一次曲线或者更高次曲线。进一步，弧长不会因曲线所在位置改变而改变。

wayne

根据弧长微元等于面积微元，我们可以列一个微分方程：\( y\dif x =\dif s\) ,即\(y=\sqrt{1+y'^2}\) ，解得 \(y=\cosh(x+C)\)

倪举鹏

明显有无穷多种曲线满足，因为曲线弧长固定，只要平移就可以让下面面积等于弧长。
其实问题应该这样：过原点的曲线，从原点开始，在任何点，弧长等于下面曲边三角形的面积。估计解唯一。

倪举鹏

问题还可以这样提：有上凸偶函数，无论怎么向上平移，X轴上半部分的弧长等于与X轴围成的弧形面积

倪举鹏

1/2 (E^(x-[Pi]/2*I) + E^(x+[Pi]/2*I))    这画不出曲线了  问题不能过原点   过（0,1）还行  1/2 (E^(-x) + E^(x)) 还有y=1直线也满足

hujunhua

长度与面积的量纲都不同，数值上的相等取决于单位制。再加上扯上坐标系。这属于极端的不会提问。

倪举鹏

还可以曲面面积与曲面下的体积数量上相等
pdsolve((diff(F(x, y), y))^2+(diff(F(x, y), x))^2+1 = F(x, y)^2)
有解z=(1/2)*(_c[2]^2*exp(2*_C1/sqrt(_c[2]^2+1))+exp((2*(y*_c[2]+x))/sqrt(_c[2]^2+1))+exp(2*_C1/sqrt(_c[2]^2+1)))*exp(-(y*_c[2]+_C1+x)/sqrt(_c[2]^2+1))/sqrt(_c[2]^2+1)

cn8888

这个问题严格地说没有答案,
面积单位归面积单位,
长度单位归长度单位,
两者的比较没什么实际意义!
你说不是吗?
除非限制了单位,然后说数值上相等

BeerRabbit

基本上天天看数研站的更新。最近虽然新帖子不多，但是也不能但凡有个问题，自己不加考虑就提出来吧。