积分不等式问题

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$a_0=\frac{(n-1)^{n-1}}{n^n}$，$0 < a < a_0$，求证
$$2\int_{x_1}^{x_2}\frac{x^{n-3/2}dx}{\sqrt{x^{n-1}-x^n-a}}>\sqrt{2a_0}\pi$$
其中$x_1,x_2$是方程$x^{n-1}-x^n-a=0$的两个根。$n>2$是正整数。

感觉这种不等式的难度在于两个根的具体形式是不知道的，也就是积分区间不知道怎么表达才好，所以就难以进行变换了。

我曾经试过将$x^{n-1}-x^n$在它的极大值点处展开至二次项，求出近似的$x_1,x_2$，然后积分，是可以直接得到右边的结果的，但这只能算定性辅证，不是证明。

这个积分类似于在一个保守势的作用下求粒子的运动周期问题~

求助各位~

wayne

设\(t^2=x^{n-1}-x^n-a\) ,则 \(2t\dif t=\left((n-1)x^{n-2}-n x^{n-1}\right)\dif x\),   代进去，然后分部积分

\[\begin{split}
2\int_{x_1}^{x_2}\frac{x^{n-3/2}\dif x}{\sqrt{x^{n-1}-x^n-a}} &=2\int_{x_1}^{x_2}\frac{x^{n-3/2}\dif x}{t}\\
&=4\int_{t_1|x=x_1}^{t_2|x=x_2}\frac{\sqrt{x}\dif t}{(n-1)-n x} \\
&=- 4\int_{x_1}^{x_2}t\cdot \dif\left(\frac{\sqrt{x}}{(n-1)-n x}\right)
\end{split}\]

接下来就根据根的值进行放缩了，利用$a_0$的特点,.......

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wayne 发表于 2014-6-1 10:25
设\(t^2=x^{n-1}-x^n-a\) ,则 \(2t\dif t=((n-1)x^{n-2}-n x^{n-1})\dif x\),   代进去，然后分部积分

\ ...

看起来还是不怎么明白，主要是怎么放缩呢？最后一步看起来并不简单，它的化简作用在哪里呢？我觉得主要难度就是不知道根怎么表达，好像求一个近似表达式也不容易？

如果一般情况比较复杂的话，可否举一个特定的n为例？

wayne

2#变换的中心思想是分部积分，使得其中一项能通过代入方程的根为0而化简掉，但似乎并没有取到预期效果。
目前来看：如果把一般情况的积分看成是关于n的数列，则该数列很可能是递减数列，继而得出最大值在n=2处取得，于是先算一下n=2的情况

282842712474

wayne 发表于 2014-6-15 15:52
2#变换的中心思想是分部积分，使得其中一项能通过代入方程的根为0而化简掉，但似乎并没有取到预期效果。
...

我考虑过你说的后面的思路，但是，证明它是递减却是很困难的，因为不同的n的积分区间不同，似乎很难比较

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wayne 发表于 2014-6-15 15:52
2#变换的中心思想是分部积分，使得其中一项能通过代入方程的根为0而化简掉，但似乎并没有取到预期效果。
...

右边的结果是在将根号里边的函数在极大值处展开至二次时得到的。

在物理中，这是求一个保守系统的振动周期，右边的则是把力线性化（近似的简谐运动，就像我们用$\sin \theta\approx \theta$得到单摆的近似周期一样）得到的周期值。这个不等式说的是这类势作用下的周期大于它线性化近似的周期。我找不到相关的资料或证明

wayne

282842712474 发表于 2014-6-15 23:45
右边的结果是在将根号里边的函数在极大值处展开至二次时得到的。

在物理中，这是求一个保守系统的振动 ...

噢，明白了。
是否可以这样理解：
1）不管是什么力，该保守系统是周期运动。
2）该力的线性部分 要大于整体，所以周期更短（物理角度考虑似乎是理所当然的，因为力越大，约束越强，响应越快，继而周期越短）