项链与悬链线

葡萄糖

如果知道项链的长度和悬挂点的位置，项链达到稳定时，如何知道该悬链线方程

kastin

猜想：`\D\angle 1+\angle 2=\frac{\pi}{2}`

感觉项链换为均匀质量分布且无弹性的软绳比较好。毕竟项链这种类型的东西，其力学性质跟绳子不一样。给你看个视频：http://www.ipc.me/self-siphoning-beads.html

wayne

悬链线 方程 见wikipedia的解说。zh.wikipedia.org/wiki/悬链线

本题里，两个支点将项链分成两段，每一段都是一个独立的悬链线.

设$\lambda$是线密度，两个支点水平高度相等，距离为\(d\),项链长度为\(L\),重力加速度\(g\)  .

1） 两支点在同一水平面上，所以\( \frac{L}{a}=sinh(\frac{d}{a})\),其中 \(a=\frac{T}{g \lambda}\), $T$是每一点处张力的水平分量. 于是，两段悬链线，就有两个参数约束方程：,
\[\frac{L_1}{2 a_1}=sinh(\frac{d}{2a_1})\]
\[ \frac{L_2}{2a_2}=sinh(\frac{d}{2a_2})\]
2) 项链总长度为$L$, 所以
\[L_1+L_2=L\]
3)项链是刚性的，其长度不可变，支点处是光滑的，所以张力相等。于是，\(T = T_1^2+(1/2g\lambda L_1)^2 =T_2^2+(1/2g\lambda L_2)^2\)
即 \[4a_1^2+L_1^2=4a_2^2+L_2^2\]


四个变量，四个方程，联立起来，即可解出 这两个悬链线方程的 参数

.

kastin

准备知识：
有一段开口绳子挂于水平两点，设悬挂点距离的一半长度为`d`，整个绳子长度的一半为`L`，绳子线密度为`\lambda`，重力加速度为`g`，绳子最低点位置水平张力为`T_0`.
若以水平向右为x轴正方向，绳子对称轴竖直向上为y轴正方向，记`\enspace\D a=\frac{T_0}{g\lambda}`
那么绳子的形状可用通解`\D y=a\cosh\frac{x}{a}+\rm C`表示。这里的`\rm C`为积分常数，由边界条件确定。`a`由下式决定
$$\frac{L}{a}=\sinh\frac{d}{a}$$
这便是悬链线方程，具体推导过程网上有，一些结构力学教材中也有相关推导，这里就不再重复了。

在本问题中，绳子是闭合的，故相当于一长一短的两条悬链线。为了方便，我们将x轴取在最上方（两端点连线），于是在悬挂点处的纵坐标为零，这就是边界条件：`y(\pm d)=0`，代入通解公式，得到特解
$$y=a\cosh \frac{x}{a}-a \cosh\frac{d}{a}$$
设上端绳长的一半为`l_1`，下端绳长的一半为`l_2`，则有
$$\begin{equation}\tag{1}L=l_1+l_2\end{equation}$$
各自的系数`a`也有
$$\begin{equation}\tag{2}\frac{l1}{a_1}=\sinh\frac{d}{a_1}\end{equation}$$
$$\begin{equation}\tag{3}\frac{l2}{a_2}=\sinh\frac{d}{a_2}\end{equation}$$
四个未知数`l_1,l_2,a_1,a_2`需要四个方程，还差一个方程。考虑右侧的长绳和短绳，由于绳子的重力、水平张力和悬挂处切向力三力平衡，并且在悬挂点处，两绳切向拉力大小相等，有
$$\begin{equation}\tag{4}(\lambda l_1g)^2+(\lambda ga_1)^2=(\lambda l_2g)^2+(\lambda ga_2)^2\end{equation}$$

联立求解`(1)\sim (4)`即可。