求解三角形中的一类点

葡萄糖

①已知三角形ABC，P为平面内的任意一点，过P点作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F。
H,I,G分别在直线DP,EP,FP上，且DP=HP,EP=IP,FP=GP,M为三角形HIG的重心。
请问是否存在P点与M点重合，如存在P有几个，有哪些几何关系？
那么修改一下问题，结果会怎样？
②已知三角形ABC，P为平面内的任意一点，过P点作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F。
H,I,G分别在直线DP,EP,FP上，且DP：EP：FP=1/HP：1/IP：1/GP,M为三角形HIG的重心。
请问是否存在P点与M点重合，如存在P有几个，有哪些几何关系？
③已知三角形ABC，P为平面内的任意一点，过P点作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F。
H,I,G分别在直线DP,EP,FP上，且DP：EP：FP=1/HP^2：1/IP^2：1/GP^2,M为三角形HIG的重心。
请问是否存在P点与M点重合，如存在P有几个，有哪些几何关系？

研究背景：这些都与矢量有关，①中的P是类似重心(symmedian point)，③中的P是内心(incenter)
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