能否找到其他更符合条件的曲线？

BeerRabbit

尝试寻找符合以下条件的光滑函数f(x)：
1、定义域x>=0；
2、f(0)=0；
3、f(x)>0，当x>0；
4、f(x)以直线y=x-1为渐近线；
5、f(x)单调.
6、f(x)尽可能靠近直线y=0和直线y=x-1；

例如如下的两条曲线：



还能否找到别的形式比较简约（美）的例子呢？

kastin

以(0,0)为顶点，y=x-1为渐近线的双曲线的左支满足该条件。

计算出渐近线在y轴上的截距长度为1，所以a=1。因为渐近线斜率为1，所以b=1，于是该双曲线的标准方程为
$$x^2-y^2=1$$
然后进行转轴和移轴。将坐标系逆时针旋转`\D \frac{\pi}{2}`
变化公式为`y_1=x`; `x_1=y`;
然后向新的y轴正方向移动1个单位。新坐标系下的方程即为所求。
变化公式为`y_2=y_1-1`; `x_2=x_1`
于是整体变化为`y_2=x-1`; `x_2=y`，得`(y_2+1)^2-x_2^2=1`，即
$$(y+1)^2-x^2=1$$
标准方程的左支(也就是现在的上支)$$y=\sqrt{x^2+1}-1$$即为所求。

图象

BeerRabbit

kastin 发表于 2014-6-10 15:08
以(0,0)为顶点，y=x-1为渐近线的双曲线的左支满足该条件。

计算出渐近线在y轴上的截距长度为1，所以a=1 ...

对条件6的满足程度不够理想啊：




PS：我一开始考虑的也是双曲线。

kastin

BeerRabbit 发表于 2014-6-10 15:44
对条件6的满足程度不够理想啊：

因为指数是增长速度最快的，要想让曲线更接近双曲线和x轴，就要求g(x)=f(x)-(x-1)必须满足
g(0)=1，g(∞)-->0且g(x)从1到0下降速度非常快。你使用了指数函数与x^x类型的复合，这两种函数的变化率都是非常快的。所以没有其他比你这个类型更快的显式函数了。

你可以考虑把底数换成更大的数。或者将e^x堆叠更多层，来达到更加贴近坐标轴和渐近线的效果。但是这样的函数不美观。

BeerRabbit

kastin 发表于 2014-6-10 16:25
因为指数是增长速度最快的，要想让曲线更接近双曲线和x轴，就要求g(x)=f(x)-(x-1)必须满足
g(0)=1，g(∞ ...

是我表述的问题：我说的“简约”指的是可以用一个独立的显式表达出来，而不是通过类似分段、级数等方法实现。

从感觉上来说，指数堆叠的思路是可行的，但除此之外呢？有没有更好的方法？

kastin

BeerRabbit 发表于 2014-6-10 16:37
是我表述的问题：我说的“简约”指的是可以用一个独立的显式表达出来，而不是通过类似分段、级数等方法实 ...

这个我也不太清楚，刚刚找到很多较好的，但是不满足单调性。
感觉对于构造性的问题，实在是难。

wayne

对双曲线稍作改动：

BeerRabbit

wayne 发表于 2014-6-11 08:40
对双曲线稍作改动：

仍然不够理想啊………………

对于条件6（即“逼近”程度）的解读，倒是可以用一定的数量（比如和两条线之间的面积）来衡量，然后（或许）通过一定的物理方法进行建模求解？

wayne

可以先考虑对分段函数  {0,x<1;x-1,x>=1}  做傅里叶变换，然后去除掉高频率部分，看有没有启发。

ps: 我记得你以前也出过类似的根据图像性质找函数表达的题目...

282842712474

$$y=x-1+\frac{\ln(1+e^{-k(x-1)})}{k}$$

k大于0，k越大越接近。

下图分别是k=5和k=20的图像