求两个角的度数之比

chyanog

\(\triangle ABC\) 中，\(\angle ABC=2\angle BCA\)，\(P\) 是 \(\triangle ABC\) 内的一点满足 \(PB=PC,AP=AB\)，求\(\angle CAP:\angle CAB\).

northwolves

1:3?

mathe

感觉缺少条件。图形可以构造很多个。

mathe

如图

chyanog

目前的思路，设∠ACB=a, ∠CAP=x, ∠BAP=y, 和mathe的思路类似，根据PC/PA=PB/AB得
取a为任一角度数值验证(a>Pi/3)

1. a = Pi/4.3;
   
2. Solve[Sin[x]/Sin[Pi/2 - a - y/2] == Sin[y]/Sin[Pi/2 - y/2] &&  0 < x < Pi/2 /. y -> Pi - 3 a - x, {x}]
   
3. (Pi - 3 a - x)/x /. %

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updated:
其实这样就行了

1. Clear["`*"];
   
2. Solve[{Sin[x]/Sin[Pi/2 - a - y/2] == Sin[y]/Sin[Pi/2 - y/2],x + y + 3 a == Pi, 0 < x < Pi/2, 0 < a < Pi/2}, {x, y}] // Expand

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解得: x=Pi/3-a, y=2*Pi/3-2*a

hujunhua

几何解法：
    1、以BC的中垂线为镜像线，作点A的镜像点D，连结AD, CD，得等边梯形ABCD (CD＝DA＝AB)。
    2、连结PD，得正△PAD。
   余略。