有多少种同分异构体—波利亚定理

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有多少种同分异构体—波利亚定理
19 世纪 60 年代，经过许多化学家的努力，知道碳是四价，碳的四个价键指向一个四面体的顶点，从此形成了有机化学的结构理论。正是由于这种特殊的结构，许多化合物，特别是有机化合物，出现了同分异构的现象，也就是分子式相同（同分）而结构式不同（异构）的情况。最简单的有机化合物是碳氢化合物，其中饱和链式碳氢化合物称为烷，分子式为 \(C_nH_{2n+2}\)。当\(n=1，2，3\)时，甲烷、乙烷、丙烷只有一种结构式，而从\(n=4\) 也就是丁烷起，就出现了2种乃至多种异构体。例如丁烷\(C_4H_{10}\)有正丁烷和异丁烷，它们的结构式分别为：
同样，戊烷(\(C_5H_{12}\))有三种异构体，而且从实验室也的确分离出来性质各异的异构体，一个不多，一个不少。到底\(C_nH_{2n+2}\)每种应该有多少种同分异构体呢？60 年代到 70 年代，化学家绞尽脑汁也没有得出一个定论。没想到英国数学家凯雷早在1857年已经得出正确的数值。当然，他不是从化学出发，而是从组合数学问题——关于“树”的计数来进行研究的。他的树就是没有回路的点——线图，这样他得到如下的结果：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
异构体数 1 1 1 2 3 65 9 18 35 75
饱和烃的构形只是多种多样构形中的一种。对于一般的构形，计数定理显然是不易得到的。一直到 1937 年，匈牙利著名数学家波尔亚得出一个非常一般的计数定理，几乎包括以前所有的定理。这个定理用到组合理论中的生成函数（也称母函数，发生函数）以及群论，特别是置换群以及表示理论的知识。利用波尔亚计数定理可以求出许多图论的定理，例如，p 点图的数目。所谓 p 点图，也就是由 p 个点以及两个点之间的可能连线构成的图。例如 5点图，用波尔亚定理可以求出具有 s 条连线的不同 5 点图的数目，它是用生成函数来表示的：
\(g_5(x)=1+x+2x^2+4x^3+6x^4+6x^5+6x^6+4x^7+2x^8+x^9+x^10\)
这样有\(5\)个点，\(s\)条连线的不同的图的数目就是\(x^s\)的系数。例如\(5\)个点\(6\)条连线的图共有6个。实际，我们可以画出来：
由这公式还可以看出，\(5\) 点图最多有\(10\)条连线，而且这种图只有一种。
因为这时每对点之间最多只有一条连线，它的数目为这种图在图论中称为完全图。
\[\left( \begin{gathered}
  5 \\
  2 \\
\end{gathered}  \right) = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10\]

zeroieme

上面这位一直在灌水，没有说过数学的。签名还是某网文

zeroieme

数列地址  http://oeis.org/A000602
编程地址   http://rosettacode.org/wiki/Paraffins

还有忽略了手性异构体的问题

The phenomenon of "stereo-isomerism" (a molecule being different from its mirror image due to the actual 3-D arrangement of bonds) is ignored for the purpose of this task.

另，楼主的好象错了

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
异构体数 1 1 1 2 3 65 9 18 35 75