撒3点，构成锐角三角形的概率是多少

倪举鹏

在无穷平面里随机撒3点，构成锐角三角形的概率是多少。不知道这么想行不行，先撒两点，过两点的平行线都垂直于两点的连线。现在撒第三点，只有撒在这两平行线内才是锐角三角形。明显概率0.
在给定圆内随机撒三点，概率是多少
在圆环上撒三点，概率是多少
在球内撒三点，在球面撒三点，在无限空间里撒三点，概率都是多少。最好有直观的几何解释

gxqcn

即便在两条平行线内，也不一定就是锐角三角形，还需扣除以两点为直径的一个圆。

gxqcn

考察三角形中的最大内角，其取值范围为 \([\pi/3,\pi)\)，符合锐角三角形的取值范围为 \([\pi/3,\pi/2)\)，感觉概率似乎不应为 \(0\)

倪举鹏

坐等会概率的人的形象几何说明

hujunhua

在圆上撒三点，构成锐角三角形的概率为1/4, 见本坛http://bbs.emath.ac.cn/thread-5241-1-3.html

gxqcn

gxqcn 发表于 2014-6-18 10:32
考察三角形中的最大内角，其取值范围为 \([\pi/3,\pi)\)，符合锐角三角形的取值范围为 \([\pi/3,\pi/2)\)， ...

巧的是，\[\frac{\pi/2-\pi/3}{\pi-\pi/3}=\frac14\]

BeerRabbit

平面是如何延展形成的？
1、圆？
2、正方形？

kastin

有点难，不过关于均匀分布需要小心，不能直接应用极坐标的均匀分布，见http://www.anderswallin.net/2009 ... -polar-coordinates/
而球面上的均匀分布有很多种方案，没有哪一种最好，但是存在较差的和较好的方案。见 http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/95/sphere.faq

倪举鹏

还有个问题，不说这困难的概率了。在所有三角形中，锐角三角形占总数的几分之几。这个问题可以图解

hujunhua

如果所谓“所有的三角形”可以表为集合\[T=\{(x,y,z,\rho)|x+y+z=\pi,x>0,y>0,z>0,\rho>0\}\]那么锐角三角形占总数的1/4。
这里\(\rho\)为三角形的外径，代表三角形的大小。我们的答案应该与三角形的大小无关，可以不考虑\(\rho\), 仅考虑\((x,y,z)\)。
点集\(T=\{(x,y,z)|x+y+z=\pi,x>0,y>0,z>0\}\)为三维直角坐标系第一卦限的一个正三角形，子集锐角三角形是其中心三角形。