n!+2^n

fungarwai

$T_0=2,T_1=3,T_2=6$

$T_n=(n+4)T_{n-1}-4nT_{n-2}+(4n-8)T_{n-3}$

wayne

这个可以用母函数来做,或者说，Z变换。
设 $T_n$的母函数为 $f(x)$,则化简得：
\[f(x) -a_2x^2-a_1x-a_0 = (f'(x)-a_1)x^2 +5x(f(x)-a_1x-a_0)  - x^2(xf'(x)+2f(x)-2a_0) +4x^3(xf'(x)+f(x))\]

kastin

设`T_n`的母函数为`G(x)=\sum_{n=0}^{\oo}T_nx^n`
于是有
$$\begin{align}  G(x)    &= T_0+T_1x+T_2x^2+ T_3x^3+ \cdots +T_{n-1}x^{n-1}+T_nx^n+ \cdots \tag{1} \\
\frac{(x^5G(x))'}{x^3} &= \mathrel{{\phantom{T_0}}}5T_0x+6T_1x^2+ 7T_2x^3 + \cdots +\quad(n+4)T_{n-1}x^n+ \cdots \tag{2} \\
-4x(x^2G(x))'              &=  \mathrel{{\phantom{T_0+T_1}}}-8T_0x^2- 12T_1x^3- \cdots - \qquad \enspace 4nT_{n-2}x^n - \cdots \tag{3} \\
4x^3(xG(x))'               &=  \mathrel{{\phantom{T_0+T_1x+T_2x^2+}}}4T_0x^3+ \cdots +(4n-8)T_{n-3}x^n+ \cdots \tag{4}
\end{align}$$
将`(2)+(3)+(4)-(1)`，并利用1楼的递推关系以及`T_0=2,T_1=3,T_2=6`，得到线性常微分方程$$(1-2x)^2x^2G(x)'+(1-2x)^2(x-1)G(x)=-4x^2+7x-2$$解得$$G(x)=\frac{c_1\text{e}^{-1/x}}{x}+\frac{\text{e}^{-1/x}\,\text{Ei}(1/x)}{x}+\frac{1}{1-2x}$$
其中，`\text{Ei}(x)`是指数积分函数。
因为初始条件为`\D\lim_{x->0^+}G(x)=T_0=2`，可知通解中的`c_1`为任意数均满足。取`c_1=0`有$$G(x)=\frac{\text{e}^{-1/x}\,\text{Ei}(1/x)}{x}+\frac{1}{1-2x} \quad(x>0)$$
根据指数积分在Re(z)>0上的级数定义可知$$\frac{\text{e}^{-1/x}\,\text{Ei}(1/x)}{x}=\sum_{n=0}^{\oo}n!x^n$$而$$\frac{1}{1-2x}=\sum_{n=0}^{\oo}2^nx$$故原递推关系的通项公式就是$$T_n=n!+2^n\quad(n \geqslant 0)$$
验证：

1. Table[SeriesCoefficient[(E^(-1/x) ExpIntegralEi[1/x])/x + 1/(
   
2.    1 - 2 x), {x, 0, n}, Assumptions -> x > 0], {n, 0, 10}]
   
3. 
   
4. RecurrenceTable[{a[n] == (n + 4) a[n - 1] -
   
5.     4 n a[n - 2] + (4 n - 8) a[n - 3], a[0] == 2, a[1] == 3,
   
6.   a[2] == 6}, a, {n, 1, 10}]

复制代码

结果是都是：
{2,3,6,14,40,152,784,5168,40576,363392,3629824}

fungarwai

$a_n=(n+4)a_{n-1}-4na_{n-2}+4(n-2)a_{n-3}$
$a_n-na_{n-1}=4a_{n-1}-4(n-1)a_{n-2}-4a_{n-2}+4(n-2)a_{n-3}$
$a_n-na_{n-1}=4(a_{n-1}-(n-1)a_{n-2})-4(a_{n-2}-(n-2)a_{n-3})$
$b_n=a_n-na_{n-1},b_1=1,b_2=0$
$b_n=4b_{n-1}-4b_{n-2}$
$b_n-2b_{n-1}=2b_{n-1}-4b_{n-2}$
$c_n=b_n-2b_{n-1},c_2=-2$
$c_n=2c_{n-1}=-2^{n-1}$
$b_n=2b_{n-1}-2^{n-1}=-(n-2)2^{n-1}$
$a_n-na_{n-1}=-(n-2)2^{n-1}$
$a_n-2^n=n(a_{n-1}-2^{n-1})$
$a_n-2^n=n!$

fungarwai

\(T_n-(n+4)T_{n-1}+4nT_{n-2}-(4n-8)T_{n-3}=0\)
\([E^3-(n+4)E^2+4nE-(4n-8)I]T_{n-3}=0\)
\([E^3-E^2(n+2)+E(4n-4)-(4n-8)I]T_{n-3}=0\)
\(8-4(n+2)+2(4n-4)-(4n-8)=0\)
\((E-I2)[E^2-En+I(2n-4)]T_{n-3}=0\)
\((n-2)^2-(n-2)n+2(n-2)=(n-2)(n-2-n+2)=0\)
\((E-I2)(E-I2)[E-I(n-2)]T_{n-3}=0\)