【请你来找茬】这个数学归纳法哪错了？

sunwukong

题目：
已知
\(S_0=4\)，\(S_n=S_{n-1}^2-2\)，（\(n>0\)），
求证
\(S_n=(2+\sqrt3)^{2^n}+(2-\sqrt3)^{2^n}\) ，（\(n>=0\)）

解：

设 \(\omega=2+\sqrt3\)、\(\overline\omega=2-\sqrt3\)，则

\(\omega+\overline\omega=4\)，\(\omega\overline\omega=1\)，

\(S_0=\omega^{2^0}+\overline{\omega}^{2^0}=\omega+\overline\omega=4\)，

\(S_n=S_{n-1}^2-2\)
   \(=(\omega^{2^{n-1}}+\overline{\omega}^{2^{n-1}})^2-2\)
   \(=\omega^{2^n}+\overline{\omega}^{2^n}+2(\omega\overline\omega)^{2^{n-1}}-2\)
   \(=\omega^{2^n}+\overline{\omega}^{2^n}\)

由数学归纳法可知，结论成立。

然而，我们也可以用数学归纳法证明：

\(S_n=(2+\sqrt5)^{2^n}+(2-\sqrt5)^{2^n}\) ，（\(n>=0\)）

证：
设 \(\omega=2+\sqrt5\)、\(\overline\omega=2-\sqrt5\)，则

\(\omega+\overline\omega=4\)，\(\omega\overline\omega=-1\)，

\(S_0=\omega^{2^0}+\overline{\omega}^{2^0}=\omega+\overline\omega=4\)，

\(S_n=S_{n-1}^2-2\)
   \(=(\omega^{2^{n-1}}+\overline{\omega}^{2^{n-1}})^2-2\)
   \(=\omega^{2^n}+\overline{\omega}^{2^n}+2(\omega\overline\omega)^{2^{n-1}}-2\)
   \(=\omega^{2^n}+\overline{\omega}^{2^n}\)

请问，后一个证明错在哪？？

答案：

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kastin

最后两步有问题，因为递推关系是在n>0时候成立，而`n=1`时`2(\omega\overline\omega)^{2^{n-1}}\neq 2`。

说到这里，大家要明白数列的通项公式并不一定是唯一的。如果允许使用特殊的函数来表示通项的时候，比如取整函数或者模运算，连分数等，这一点尤其尤其明显。即使不允许使用这类特殊的非解析函数，通项公式仍然不唯一。

就拿楼主的问题为例。

解法一：
设$$S_n=a_n+\frac{1}{a_n} \quad(n\geqslant 0)$$代入`S_n=S_{n-1}^2-2`得到$$a_n+\frac{1}{a_{n-1}}=a_n^2+\frac{1}{a_{n-1}^2} \quad(n>0)$$这个方程只有两个解：`a_n=a_{n-1}^2`或者`\D a_n=\frac{1}{a_{n-1}^2}`
但这两个解对于`S_n`来说是一样的，始终不会改变形式。故取`a_n=a_{n-1}^2`作为解。
于是$$a_n=a_0^{2^n}$$初始条件`S_0=a_0+1/a_0=4`，解得`a_0=2+\sqrt{3}`或`a_0=2-\sqrt{3}`
因此$$S_n=a_n+\frac{1}{a_n}=(2+\sqrt{3})^{2^n}+(2-\sqrt{3})^{2^n}$$需要注意的是，无论`a_0`代入的是哪个解，上面`S_n`保持同一个形式。

解法二：

记`\,\D\cos \theta_n=\frac{S_n}{2}`，那么1楼的递推式可写为$$\cos \theta_n=2\cos \theta_{n-1}-1$$显然等式右边可利用倍角公式，即有$$\cos \theta_n=\cos 2\theta_{n-1}$$
这个三角方程的解是$$\theta_n=2k\pi \pm 2\theta_{n-1} \quad(k \in \ZZ)$$考虑到`S_n`不会因为`\theta_n`的多值性而改变，因此仅仅取反余弦定义域`[0,\pi]`上的解不会有任何问题$$\theta_n=2^n\theta_0$$根据初始条件`S_0=2\cos \theta_0=4`，解得$$\theta_0=\arccos 2=\text{i}\ln(2+\sqrt{3}) \quad(复数主值)$$所以$$\begin{align*}S_n &= 2\cos 2^n\theta_0\\
&= 2\cos (2^n\ln(2+\sqrt{3})\text{i}) \\
&= 2\cosh(2^n \ln(2+\sqrt{3}))\end{align*}$$

wayne

由于初始值大于1，所以用双曲余弦比较合理，当然用余弦也行，最终再换到实域

joker

看看答案是什么