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[讨论] 三角形7份全等分割问题

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发表于 2008-6-22 21:18:31 | 显示全部楼层 |阅读模式

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是否存在三角形,能分成七个全等的三角形?

这是南京师范大学数学系教授,单墫博士曾悬赏50元征解的题目。
(刊登于武汉《数学通讯》,1995年1月)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-6-23 07:37:37 | 显示全部楼层


反过来,是否存在三角形,使的用7个相同的该三角形能组成一个新三角形
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 楼主| 发表于 2008-6-23 08:00:59 | 显示全部楼层
一回事。

看谁能举出例证,或反证不存在?!
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发表于 2008-6-23 08:12:01 | 显示全部楼层
呵呵

我想改简单些
但有可能改反了

我觉得无解
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-6-23 08:20:30 | 显示全部楼层
有什么已有结论吗?
解释一下为什么是 7 ?
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 楼主| 发表于 2008-6-23 08:35:04 | 显示全部楼层
因为利用构造法,
很容易找到可分割成2个、3个、4个、5个、6个、8个、9个、10个、。。。全等三角形,
独独缺少7个的情形。
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发表于 2008-6-23 08:41:50 | 显示全部楼层
“很容易” ?
给个资料让我们先学习一下吧
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 楼主| 发表于 2008-6-23 09:08:29 | 显示全部楼层
在10以下的分割中,除7未知外,以及5以外,其它均可在等边三角形中实现。

可分割成5个全等三角形的三角形如下:

可分割成5个全等三角形的三角形

可分割成5个全等三角形的三角形

具体如下:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC,作CD⊥AB于D,
点E、F、G分别为边BC、CD、DB的中点,顺次连结。
则Rt△ABC被分成5个全等三角形。

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 楼主| 发表于 2008-6-23 09:24:55 | 显示全部楼层
定理:

  • 若一个直角三角形可分成n个全等的三角形,则存在三角形(两个全等直角三角形,沿相等的一组直角边并和而成)可分成2n个全等三角形。
  • 任意三角形可分成n2个全等三角形(三角形各边各取n等分点),且均与原三角形相似。
  • 若存在三角形可分成n个全等的三角形,则存在三角形,可分成nk2个全等三角形。(k2全等三角形可并成1个三角形,即性质2的逆过程)
  • 若n可以表示成为两个正整数的平方和,则存在三角形可分成n个全等的三角形。


定理4的简证:
假设 n=a2+b2
则以a、b为直角边作Rt△ABC,其中∠ACB=90°(可参见上帖附图),
作CD⊥AB于D,则 Rt△ACD ∽ Rt△CBD ∽ Rt△ABC,
用定理2的方法,Rt△ACD、Rt△CBD 可分别划分为 a2、b2 个全等的小三角形,
又它们彼此相似,且面积相等,
所以△ABC就被分成了 n=a2+b2 个全等三角形。证毕。

由这些性质出发,立得:存在无限多个n,有三角形可分成n个全等的三角形。
问题是:能否求出所有的这样的n?
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发表于 2008-6-23 10:13:17 | 显示全部楼层


那就是要求素数个分解
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