三角形7份全等分割问题

gxqcn

是否存在三角形，能分成七个全等的三角形？ 这是南京师范大学数学系教授，单墫博士曾悬赏50元征解的题目。 （刊登于武汉《数学通讯》，1995年1月）

无心人

反过来，是否存在三角形，使的用7个相同的该三角形能组成一个新三角形

gxqcn

一回事。 看谁能举出例证，或反证不存在？！

无心人

呵呵 我想改简单些 但有可能改反了 我觉得无解

shshsh_0510

有什么已有结论吗？ 解释一下为什么是 7 ？

gxqcn

因为利用构造法， 很容易找到可分割成2个、3个、4个、5个、6个、8个、9个、10个、。。。全等三角形， 独独缺少7个的情形。

shshsh_0510

“很容易” ？ 给个资料让我们先学习一下吧

gxqcn

在10以下的分割中，除7未知外，以及5以外，其它均可在等边三角形中实现。 可分割成5个全等三角形的三角形如下：

可分割成5个全等三角形的三角形

具体如下：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2AC，作CD⊥AB于D， 点E、F、G分别为边BC、CD、DB的中点，顺次连结。 则Rt△ABC被分成5个全等三角形。

gxqcn

定理：

• 若一个直角三角形可分成n个全等的三角形，则存在三角形（两个全等直角三角形，沿相等的一组直角边并和而成）可分成2n个全等三角形。
• 任意三角形可分成n²个全等三角形（三角形各边各取n等分点），且均与原三角形相似。
• 若存在三角形可分成n个全等的三角形，则存在三角形，可分成nk²个全等三角形。（k²全等三角形可并成1个三角形，即性质2的逆过程）
• 若n可以表示成为两个正整数的平方和，则存在三角形可分成n个全等的三角形。

定理4的简证：

假设 n=a²+b²， 则以a、b为直角边作Rt△ABC，其中∠ACB=90°（可参见上帖附图）， 作CD⊥AB于D，则 Rt△ACD ∽ Rt△CBD ∽ Rt△ABC， 用定理2的方法，Rt△ACD、Rt△CBD 可分别划分为 a²、b² 个全等的小三角形， 又它们彼此相似，且面积相等， 所以△ABC就被分成了 n=a²+b² 个全等三角形。证毕。

由这些性质出发，立得：存在无限多个n，有三角形可分成n个全等的三角形。 问题是：能否求出所有的这样的n？

无心人

那就是要求素数个分解