特殊幂级数

kastin

我们知道，所有足够光滑的函数都能展开成幂级数形式`\sum_{n \ge 0}a_nx^n`，这里的基是`\{1,x^1,x^2,x^3,...,x^n,...\}`。那么，如果将基设置为`\{1,x^1,x^4,x^9,...x^{n^2},...\}`呢？仍能给出某个函数对应的展开式吗？

对于这个问题，我感觉答案是否定的。
因为类比一下，如果一个函数是奇函数，那么普通幂级数展开，只剩下x的级数次的项，而不可能出现偶数次的项。如果强行要求以偶数项为基来进行展开，显然是不可能的。因为奇函数性质决定不可能展开成偶函数的基的级数形式。同理，对于上述平方数项为基的级数，若收敛于某个函数的话，该函数必然是一类具有某种特殊性质的函数，只有这类函数才能进行这种平方基的展开。现在想要探讨这样的函数具有什么性质。

首先我们从简单的情况做起，因为在`|u|<1`时，$$\sum_{n=0}^{\oo}u^n=\frac{1}{1-u}$$那么`\D\sum_{n=0}^{\oo}u^{n^2}`的渐近函数是什么呢？

wayne

论坛里好像至少两次提及这个幂级数，没搜到。

这牵涉到了一个特殊函数：EllipticTheta：http://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html
Mathematica 代码：Sum[x^n^2,{n,0,Infinity}]

kastin

记`f(u)=\D\sum_{n=0}^{\oo}u^{n^2}`
首先，`\D f(u)<\frac{1}{1-u}`，因为在`0\leqslant u < 1`时，`u^{n^2} < u^n`。
其次，在`u\to 1`时，`f(u)\to \oo`，故`u=1`是f(u)的唯一 一个极点。

根据上述性质可知，`f(u)`可能和`\D \frac{1}{(1-u)^\alpha}`渐近，这里`0<\alpha<1`。
经探索发现，$$f(u)\sim \frac{1}{\sqrt{1-u}}+\frac{u}{2} - \frac{3u^2}{8}$$这是目前找到项数最少且精度较高的渐近(误差始终为正，且最大误差为0.01)。
对于`u`非常接近1的时候，用`\D \frac{1}{\sqrt{1-u}}`作为渐近误差更小（此时误差也是正的）。

wayne

kastin 发表于 2014-6-29 17:31
记`f(u)=\D\sum_{n=0}^{\oo}u^{n^2}`
首先，`\D f(u)

我把渐近理解成了线性渐近的那种。如果是非线性的话，那这个题就很开放了。

我试着求导了一下，然后解微分方程，也搞出了一个逼近函数。

$$f(u)\sim \frac{u}{(u-1)^2}+1-2 u^2+O(u^3)$$

kastin

补充一下图像：

1. Plot[{Sum[x^(n^2), {n, 0, Infinity}],
   
2.   1/Sqrt[1 - x] + x/2 - 3 x^2/8}, {x, 0, 1},
   
3. PlotStyle -> {Blue, {Red, Dashed}},
   
4. PlotLegends -> Placed["Expressions", {0.3, 0.8}]]

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