同色异色点距离和问题

gxqcn

平面上有n个红点，n个蓝点，
证明或否定：所有同色点间点的距离之和不超过异色点间的距离之和。

本题同样是单墫博士曾悬赏50元征解的题目。
（刊登于武汉《数学通讯》，1995年4月）

本论坛昨天还发过他的另一道悬赏题：三角形7份全等分割问题

mathe

这个题目好像不难呀

gxqcn

题目看似简单，做起来并不容易。

（现在甚至不知结论是肯定还是否定 ）

mathe

哦,看到问题了,是距离之和,而不是距离平方之和.
通常牵涉到距离之和,就很难处理;但是距离平方之和就会很好处理

shshsh_0510

这两题都很老了（95年），难道没人解决？

gxqcn

不知道。估计还无人破解吧。

无心人

那就可能是咱们无力解决的了

shshsh_0510

原帖由 无心人 于 2008-6-23 14:47 发表


那就可能是咱们无力解决的了

呵呵，听这话令我联想到咱们的奥赛金牌得主： 只要有答案的题，没有我们做不出的。
问题在于，只有解决没有答案的问题才有意义。

无心人

呵呵，什么时候中国人创新的能力得到提高阿

似乎国内国外的中国人，很少有自己独创性的东西

kastin

任取一种颜色来考察，不妨设是红色，随意找到一红点，以该点为球心O，半径从0不断连续增大，直到球面碰到蓝色点为止（球面上蓝色点可能有多个，球面内部可能会有大量红点，也可能没有）。这样的球面都是同心球面，记为Sk。此时连结球心O（红点）和球面Sk上的蓝点Ai，然后Ai与球面上其他蓝点Bj，根据三角不等式，同色点的距离小于或等于异色点距离。（若球面上只有一个蓝色点Bj，Bj与S_(k+1)上蓝色点连线，球心O与这些蓝色点连线。）
当每次球面Sk上的连线完成后，继续处理S_(k+1)部分，直到遍历所有球面。

以上操作过程式对某个红点为视角的。同样过程可以用于其他红点。

上述过程有点“形式化”，感觉不太严谨。