无穷级数的重排和添括号

kastin

大家都知道，三次数学危机中的第二次数学危机，就是有关无穷带来的悖论，从而使得人们不得不去重新严谨地构建微积分以及实数理论的基础。

无穷级数可分为一般的无穷级数`\sum a_nx^n`以及特殊的无穷数项级数`\sum a_n`.对于前者，由于会涉及到收敛半径是否发生改变，所以比较复杂，这里先不讨论。仅对无穷数项级数的性质作一总结：（为节省篇幅，求和符号中省去上下限，约定n从有限数取到无穷，下同.）

我们从小学就知道，对于有限个数的加（减）法，满足交换律和结合律。但是，一旦涉及到无穷项，那么通常情况下的运算规律就不一定恒成立了。

1.无穷数项级数的结合律

定理1（添括号规律）：收敛级数在不改变各项位置前提下，任意添加括号不会改变级数的收敛性，并且收敛和不变。（即仅仅是添加括号，不进行抽项重组，收敛级数不改变收敛性与收敛和）。

比如：$$\begin{align*}\ln2&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots\\
&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+\cdots\\
&=1-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})-\cdots\\
&=(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8})+\cdots \\
&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5})-\frac{1}{6}+(\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10})+\cdots
\end{align*}$$上述定理的逆命题一般不成立，即一个级数的项经过任意添加括号后，得到的新级数收敛，则原级数不一定收敛。
比如`(1-1)+(1-1)+\cdots=0`，但是去掉括号后，`1-1+1-1+\cdots`却是发散的。

定理1的逆否命题——“若某个无穷数项级数在不改变各项位置的前提下，经过某种添加括号操作后得到的新级数发散，那么原级数必发散。” 可以用于证明某个级数是发散。


比如证明调和级数发散:
将调和级数1+1/2+1/3+1/4+1/5+...进行添括号操作，构造出新级数$$\begin{align*} &\mathrel{\phantom{=}} (1+\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+\cdots\\&>\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8})+\cdots \\
&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots\end{align*}$$最后一行级数发散，根据无穷级数判别法则可知，新级数是发散的，故原调和级数是发散的。

定理2（去括号规律）：无穷数项级数`\sum u_n`在不改变各项位置，任意有限项结合构成一个新级数`\sum v_n`$$(u_1+u_2+\cdots+u_{n_1})+(u_{n_1+1}+u_{n_1+2}+\cdots+u_{n_2})+(u_{n_{k-1}+1}+\cdots+u_{n_k})+\cdots$$若满足：
(1) 这些有限项的项数构成的数列 `\D\{n_k\}_{k=1}^{\oo}` 有界
(2) `\D \lim_{n\to \oo}u_n=0`
则原级数`\sum u_n`与新级数`\sum v_n`的敛散性相同，且和不变（若级数收敛）。（反之不一定成立）

这个定理最大用处在于于去括号（当然也可以用于添括号）。
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上述定理是关于同一级数内部的结合律的，下面是关于有限个级数之间的结合律。

定理3：任意有限个收敛的无穷数项级数，其线性组合仍收敛，且收敛值是各自收敛值的同一线性组合。
比如，两个无穷级数之间的例子：`\sum a_n=a`，`\sum b_n=b`，那么$$\sum (p\,a_n+q\,b_n)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)+\cdots=a_0+b_0+a_1+b_1+\cdots=p\,a+q\,b$$
其逆命题不一定成立，因为如果直接抽取重组成两个心的无穷级数之和，这就涉及到交换律的问题了。

2.无穷级数的交换律
到这里才是重头戏，因为只有经过交换重组，才能比较方便计算无穷级数的和，因此需要知道关于交换律在无穷级数中具有什么样的性质。
首先我们定义一下“重排”的概念，重排指的是，将无穷级数中的所有项的位置按照某一手续进行交换，从而可以改变计算的先后顺序。当然，这里的定义不是非常严谨，因为如果给出严格的数学定义，那么抽象下标符号太多，影响直观理解。我们只需要仿照`a+b+c+d \to (a+c)+(b+d)`来理解即可。

具体有这么几个有名的定理——

Riemann级数重排定理：一个由实数构成的级数的所有可能的重排只有三种结果，要么所有重排都不收敛（发散），要么收敛到同一个数（绝对收敛），要么可收敛到包含正负无穷在内的任意实数（条件收敛）。

定理4有点抽象，可以分解成下面3个结论来记忆：
1) 绝对收敛级数可任意重排，且其和不变。（绝对收敛级数满足交换律）
2) 条件收敛级数各项进行重排后，可收敛至任意实数，甚至是发散。（条件收敛级数不满足交换律）
这就意味着，总可以找到一种重排方式，将一条件收敛级数变换为一个新的级数，且使得新级数收敛到任意给定实数，或者使其发散。具体例子在网上找到了一些：http://xuxzmail.blog.163.com/blog/static/2513191620126394122632/
3) 发散（不收敛）级数无论进行怎样的重排，仍然发散（不收敛）。

上述定理显然是实数范围的情况，那么更一般的情况会是什么样的呢？

Levy-Steinitz定理：n维实向量构成的级数的所有可能的重排，要么都不收敛，要么所有可能收敛的结果构成n维空间内的一个低维的平面（比如仿射子集，一个点，一条线，一个面）。
（当n=1时，就是Riemann的级数重排定理。）

需要注意的是，上面涉及到“重排”的概念是指对所有项按照某方式进行换序。因为改变有限项的位置次序，是不会影响无穷级数的敛散性和收敛值的。


最令人惊讶的是，

Dvoretzky-Rogers定理：在一个无限维的Banach空间内，总存在无条件收敛但不绝对收敛的级数。

这里我就有些糊涂了，无条件收敛不就是绝对收敛吗？
查阅维基百科后才明白http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E ... 6%E6%94%B6%E6%95%9B
下文引自上述链接：

无条件收敛是定义在具有距离的赋范向量空间中的。具体来说，一个级数 `\sum_{n=1}^\infty x_n`无条件收敛于一个特定值`\beta`，当且仅当对任意的置换`\sigma:N \to N`，级数`\sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)}`都收敛。

绝对收敛是在赋范向量空间中的另外一类收敛。其定义是：一个级数 `\sum_{n=1}^\infty x_n`绝对收敛，当且仅当实数数列` \sum_{n=1}^\infty \| x_n \|`收敛。

对于通常的实数级数或复数级数，无条件收敛和绝对收敛是等价的。在一般的有限维巴拿赫（Banach）空间中，两者也是等价的概念。而对于更一般的情况，绝对收敛能够推出无条件收敛，但无条件收敛并不能推出绝对收敛。

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对于幂级数的重排，保持收敛半径不变定理有两个，由于本帖不讨论非数项级数性质，所以就不贴出来了。有兴趣的详见http://www.doc88.com/p-047673136461.html

kastin

有时候我们需要重排，那在什么情况下，条件收敛级数重排后仍然收敛呢？Uri Elias美国数学月刊杂志 (The American Mathematical Monthly) 的一篇文章 Rearrangement of a Conditionally Convergent Series, vol 110 (2003), No. 1, p57 给出了如下结论。

条件收敛级数重排

对于某个收敛级数的一个重排，若存在一个固定的正整数 p, 使得级数的每个向前移动的项至多移动 p 个位置，则重排的级数与原级数收敛到同一个和。

注意，向前移动与向后移动有显著差别。

高德智在国内《高等数学研究》期刊上一篇名为《数项级数的收敛于重排》（Vol19 (2016), No. 3）的文章中给出了同样的结论。