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[分享] 无穷级数的重排和添括号

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发表于 2014-6-30 18:03:15 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 kastin 于 2014-6-30 18:18 编辑

大家都知道,三次数学危机中的第二次数学危机,就是有关无穷带来的悖论,从而使得人们不得不去重新严谨地构建微积分以及实数理论的基础。

无穷级数可分为一般的无穷级数`\sum a_nx^n`以及特殊的无穷数项级数`\sum a_n`.对于前者,由于会涉及到收敛半径是否发生改变,所以比较复杂,这里先不讨论。仅对无穷数项级数的性质作一总结:(为节省篇幅,求和符号中省去上下限,约定n从有限数取到无穷,下同.)

我们从小学就知道,对于有限个数的加(减)法,满足交换律和结合律。但是,一旦涉及到无穷项,那么通常情况下的运算规律就不一定恒成立了。

1.无穷数项级数的结合律

定理1(添括号规律):收敛级数在不改变各项位置前提下,任意添加括号不会改变级数的收敛性,并且收敛和不变。(即仅仅是添加括号,不进行抽项重组,收敛级数不改变收敛性与收敛和)。

比如:$$\begin{align*}\ln2&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots\\
&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+\cdots\\
&=1-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})-\cdots\\
&=(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8})+\cdots \\
&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5})-\frac{1}{6}+(\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10})+\cdots
\end{align*}$$上述定理的逆命题一般不成立,即一个级数的项经过任意添加括号后,得到的新级数收敛,则原级数不一定收敛。
比如`(1-1)+(1-1)+\cdots=0`,但是去掉括号后,`1-1+1-1+\cdots`却是发散的。

定理1的逆否命题——“若某个无穷数项级数在不改变各项位置的前提下,经过某种添加括号操作后得到的新级数发散,那么原级数必发散。” 可以用于证明某个级数是发散。


比如证明调和级数发散:
将调和级数1+1/2+1/3+1/4+1/5+...进行添括号操作,构造出新级数$$\begin{align*} &\mathrel{\phantom{=}} (1+\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+\cdots\\&>\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8})+\cdots \\
&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots\end{align*}$$最后一行级数发散,根据无穷级数判别法则可知,新级数是发散的,故原调和级数是发散的。

定理2(去括号规律):无穷数项级数`\sum u_n`在不改变各项位置,任意有限项结合构成一个新级数`\sum v_n`$$(u_1+u_2+\cdots+u_{n_1})+(u_{n_1+1}+u_{n_1+2}+\cdots+u_{n_2})+(u_{n_{k-1}+1}+\cdots+u_{n_k})+\cdots$$若满足:
(1) 这些有限项的项数构成的数列 `\D\{n_k\}_{k=1}^{\oo}` 有界
(2) `\D \lim_{n\to \oo}u_n=0`
则原级数`\sum u_n`与新级数`\sum v_n`的敛散性相同,且和不变(若级数收敛)。(反之不一定成立)

这个定理最大用处在于于去括号(当然也可以用于添括号)。
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上述定理是关于同一级数内部的结合律的,下面是关于有限个级数之间的结合律。

定理3:任意有限个收敛的无穷数项级数,其线性组合仍收敛,且收敛值是各自收敛值的同一线性组合。
比如,两个无穷级数之间的例子:`\sum a_n=a`,`\sum b_n=b`,那么$$\sum (p\,a_n+q\,b_n)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)+\cdots=a_0+b_0+a_1+b_1+\cdots=p\,a+q\,b$$
其逆命题不一定成立,因为如果直接抽取重组成两个心的无穷级数之和,这就涉及到交换律的问题了。

2.无穷级数的交换律
到这里才是重头戏,因为只有经过交换重组,才能比较方便计算无穷级数的和,因此需要知道关于交换律在无穷级数中具有什么样的性质。
首先我们定义一下“重排”的概念,重排指的是,将无穷级数中的所有项的位置按照某一手续进行交换,从而可以改变计算的先后顺序。当然,这里的定义不是非常严谨,因为如果给出严格的数学定义,那么抽象下标符号太多,影响直观理解。我们只需要仿照`a+b+c+d \to (a+c)+(b+d)`来理解即可。

具体有这么几个有名的定理——

Riemann级数重排定理:一个由实数构成的级数的所有可能的重排只有三种结果,要么所有重排都不收敛(发散),要么收敛到同一个数(绝对收敛),要么可收敛到包含正负无穷在内的任意实数(条件收敛)。

定理4有点抽象,可以分解成下面3个结论来记忆:
1) 绝对收敛级数可任意重排,且其和不变。(绝对收敛级数满足交换律)
2) 条件收敛级数各项进行重排后,可收敛至任意实数,甚至是发散。(条件收敛级数不满足交换律)
这就意味着,总可以找到一种重排方式,将一条件收敛级数变换为一个新的级数,且使得新级数收敛到任意给定实数,或者使其发散。具体例子在网上找到了一些:http://xuxzmail.blog.163.com/blog/static/2513191620126394122632/
3) 发散(不收敛)级数无论进行怎样的重排,仍然发散(不收敛)。

上述定理显然是实数范围的情况,那么更一般的情况会是什么样的呢?

Levy-Steinitz定理:n维实向量构成的级数的所有可能的重排,要么都不收敛,要么所有可能收敛的结果构成n维空间内的一个低维的平面(比如仿射子集,一个点,一条线,一个面)。
(当n=1时,就是Riemann的级数重排定理。)

需要注意的是,上面涉及到“重排”的概念是指对所有项按照某方式进行换序。因为改变有限项的位置次序,是不会影响无穷级数的敛散性和收敛值的


最令人惊讶的是,

Dvoretzky-Rogers定理:在一个无限维的Banach空间内,总存在无条件收敛但不绝对收敛的级数。

这里我就有些糊涂了,无条件收敛不就是绝对收敛吗?
查阅维基百科后才明白http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E ... 6%E6%94%B6%E6%95%9B
下文引自上述链接:

无条件收敛是定义在具有距离的赋范向量空间中的。具体来说,一个级数 `\sum_{n=1}^\infty x_n`无条件收敛于一个特定值`\beta`,当且仅当对任意的置换`\sigma:N \to N`,级数`\sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)}`都收敛。

绝对收敛是在赋范向量空间中的另外一类收敛。其定义是:一个级数 `\sum_{n=1}^\infty x_n`绝对收敛,当且仅当实数数列` \sum_{n=1}^\infty \| x_n \|`收敛。

对于通常的实数级数或复数级数,无条件收敛和绝对收敛是等价的。在一般的有限维巴拿赫(Banach)空间中,两者也是等价的概念。而对于更一般的情况,绝对收敛能够推出无条件收敛,但无条件收敛并不能推出绝对收敛。

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对于幂级数的重排,保持收敛半径不变定理有两个,由于本帖不讨论非数项级数性质,所以就不贴出来了。有兴趣的详见http://www.doc88.com/p-047673136461.html
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-1-17 17:17:50 | 显示全部楼层
有时候我们需要重排,那在什么情况下,条件收敛级数重排后仍然收敛呢?Uri Elias美国数学月刊杂志 (The American Mathematical Monthly) 的一篇文章 Rearrangement of a Conditionally Convergent Series, vol 110 (2003), No. 1, p57 给出了如下结论。

条件收敛级数重排
对于某个收敛级数的一个重排,若存在一个固定的正整数 p, 使得级数的每个向前移动的项至多移动 p 个位置,则重排的级数与原级数收敛到同一个和。

注意,向前移动与向后移动有显著差别。

高德智在国内《高等数学研究》期刊上一篇名为《数项级数的收敛于重排》(Vol19 (2016), No. 3)的文章中给出了同样的结论。
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